Les Journées du GT Combinatoire Algébrique du GDR IM auront lieu les lundi 21 et mardi 22 septembre 2015, en salle Gilles Kahn du LIX, École Polytechnique.

Algorithme pour s'y rendre :

• rejoindre le RER B,
• descendre à Massy-Palaiseau et prendre le bus 91-06B ou 91-06C jusqu'à Polytechnique laboratoires (conseillé, il faut une carte navigo ou un ticket de bus)
• ou descendre à Lozère et monter sur le plateau de l'X par les escaliers (fatigant mais sylvestre, 15 min de marche en montée),
• trouver le batiment Turing (au fond du parking)

Voici une carte de la destination :

Voyage, restauration et hébergement

• Les participants qui souhaitaient que le GT CombAlg prenne en charge leur voyage ont du recevoir leurs billets. Contacter d'urgence Thibault Manneville si ce n'est pas le cas.
• Les repas auront lieu au restaurant administratif de Polytechnique, et sont pris en charge par le GT CombAlg.
• Nous avons une chambre réservée pour la nuit du 21 au 22 septembre pour A. Aboud, R. Biagioli, A. Bigeni, G. Chatel, B. Delcroix-Oger, A.-S. Glietz, C. Lecouvey, J.-C. Novelli, M. Pétréolle, F. Viard.

Planing

Note aux orateurs : prévoir environ 40 minutes d'exposé. Il y aura un video-projecteur dans la salle et peut-être un petit tableau blanc (contacter rapidement Thibault Manneville si vous aviez prévu un exposé intégralement au tableau).

Lundi 21 septembre

11h00 - 11h45 Bérénice Delcroix-Oger (Institut de Mathématiques de Toulouse) Algèbre de Hopf d'incidence des partitions semi-pointées Dans les années 1990, Schmitt a décrit un procédé qui permet d'associer à toute famille d'intervalles vérifiant certaines conditions une algèbre de Hopf, appelée algèbre de Hopf d'incidence. Une algèbre de Hopf d'incidence bien connue est celle associée aux posets de partitions, aussi connue sous le nom d'algèbre de Hopf de Faà Di Bruno.
Après avoir rappelé les définitions nécessaires et présenté l'algèbre de Faà di Bruno, nous introduirons une algèbre de Hopf généralisant celle de Faà di Bruno : l'algèbre de Hopf d'incidence des partitions semi-pointées.

11h45 - 12h30 Arthur Nunge (LIGM, Université de Marne-la-Vallée) Équivalence de statistiques sur les permutations En 2010 J.-C. Novelli, J.-Y. Thibon et L. K. Williams ont conjecturé l'équirépartition de deux triplets de statistiques sur les permutations. Nous nous intéresserons à une preuve de cette conjecture grâce à une suite de bijections impliquant également des histoires de Laguerre, des codes de Lehmer et de nouveaux objets Catalan.

14h00 - 14h45 Zakaria Chemli (LIGM, Université de Marne-la-Vallée) Tableaux de domino décalés Nous introduisons de nouveaux objets combinatoires, appelés les tableaux de domino décalés et nous démontrons qu'ils sont en bijection avec les couples de tableaux de Young décalés. Cette bijection montre que ces objets peuvent être vu comme des éléments du super monoïde plaxique décalé, l'analogue du super monoïde plaxique pour le cas des tableaux de Young décalés.

14h45 - 15h30 François Viard (ICJ, Université Lyon 1) Une nouvelle famille de treillis définie à partir de graphes orientés Dans cet exposé, je montrerai comment généraliser la notion d'extension linéaire d'un poset au cas d'un graphe orienté, simple et acyclique. J'expliquerai ensuite comment cette généralisation donne naissance à une famille de treillis. J'exposerai d'abord quelques propriétés générales de ces posets, puis je m'attarderai sur l'exemple de l'ordre faible sur le groupe symétrique qui peut-être décrit avec ce modèle. En particulier, j'expliquerai comment cette description amène naturellement à une interprétation combinatoire des fonctions symétriques de Stanley en type \(A\), similaire à celle proposée par Fomin, Greene, Reiner et Shimozono. Pour finir, j'exposerai une des généralisations possible de cette construction, et selon le temps disponible j'expliquerai comment s'en servir pour obtenir d'autres treillis bien connu (comme le treillis de Tamari).

16h00 - 16h45 Nicolas Thiéry (LRI, Université d'Orsay) Nombre moyen de tresses dans les mots réduits et tableaux justifiés à droite En 2005, Vic Reiner a démontré que, en moyenne, l'on peut appliquer exactement une relation de tresse non triviale à un mot réduit de l'élément le plus long du groupe symétrique. Nous donnons une preuve bijective du résultat analogue lorsque l'on se restreint à la classe de commutation du mot réduit lexicographiquement minimal. Cette bijection fait intervenir, via les empilements de pièces de Viennot, un énoncé équivalent sur les tableaux standards justifiés à droite, et les opérateurs de promotion sur ceux-ci. Travail commun avec Anne Schilling, Graham White et Nathan William.

16h45 - 17h30 Grégory Chatel (LIGM, Université Marne-la-Vallée) Algèbre Cambrienne Dans les années 2006, N. Reading a introduit une généralisation du treillis de Tamari appelée treillis Cambrien. Après avoir donné les définitions des arbres Cambriens et de ces treillis, nous introduirons la structure d'algèbre de Hopf liée à cette famille d'objets puis nous expliquerons comment calculer le produit et le coproduit en utilisant des méthodes combinatoires.

Mardi 22 septembre

9h00 - 9h45 Thibault Manneville (LIX, École Polytechnique) Réalisation des associaèdres de graphe par des éventails de compatibilité The associahedron is a polytope whose face lattice encodes the combinatorics of dissections of a convex polygon in the plane. It was generalized to many directions. Among them are the so called generalized associahedra related to cluster algebras on one hand, and the graph associahedra on the other hand. Trying to construct various non-equivalent geometrical representatives of these polytopes raises many beautyful combinatorial problems. Realizing them as complete fans (set of polyhedral cones covering their ambient space) is a first step and is a little weaker than as polytopes, but is still geometric. In a paper with Cesar Ceballos and Günter Ziegler, Francisco Santos gave a construction of many different (usual) associahedra, which begins with constructing their fan and turns out to be based on the denominator vectors in the framework of cluster algebras of type A. In this talk, I will present a construction of fans realizing graph associahedra, which in the case of the usual associahedron is the one of Francisco Santos. The construction, specified to the case of a cycle associahedron (cyclohedron) extends this of Francisco Santos to the associahedron of type B, still with an interpretation as denominator vectors, and allows in both cases (types \(A\) and \(B\)) to derive the polytopality of the fans. In the talk, I will insist on the combinatorial aspects of the construction. (joint work with Vincent Pilaud arXiv:1501.07152).

9h45 - 10h30 Mathias Pétréolle (ICJ, Université Lyon 1) Une formule de Nekraov-Okounkov en type affine C En 2009, Han a redécouvert et généralisé une identité due à Nekrasov et Okounkov, qui fait un lien entre d'un coté, les puissances de la fonction \(\eta\) de Dedekind, et de l'autre les partages d'entiers et leurs longueurs d'équerres. Pour cela, il utilise la formule de Macdonald pour le système affine de racines de type \(A\) et une bijection due à Garvan-Kim-Stanton (1990) concernant une famille de partitions appelées \(t\)-cores.
Dans cet exposé, je montrerai comment, en utilisant une nouvelle bijection sur certains couples de \(t\)-cores et la formule de Macdonald en type affine \(C\), on peut obtenir un développement combinatoire de puissances de la fonction \(\eta\). Je parlerai ensuite des applications surprenantes, comme une formule des équerres «symplectiques» et un lien entre les systèmes de racines affines \(B\), \(BC\) et \(C\).
Enfin, si le temps le permet, j'indiquerai comment on peut introduire de nouveaux paramètre dans ce développement de \(\eta\).

11h00 - 11h45 Ammar Aboud (LITIS, Université de Rouen) Hyperdeterminants, hyperpfaffiens et carrés latins Il s'agit d'une approche hyperdeterminentale pour attaquer une conjecture d'Alon-Tarsi sur les carrés latins. Dans son article : « The Cayley Determinant of the determinant Tensor and the Alon-Tarsi Conjecture », Paolo Zappa a donné une piste pour prouver partiellement le problème de la positivité de la constante d'Alon-Tarsi. Ce problème est encore ouvert. En utilisant une écriture tensorielle des hypermatrices, nous avons établi une formule de Laplace généralisée pour les hyperpfaffiens et étendu la conjecture d'Alon-Tarsi à des objets qui généralisent les carrés latins.

11h45 - 12h30 Anne-Sophie Gleitz (IRMA, Université de Strasbourg) Représentations d'algèbre affines quantiques aux racines de l'unité et algèbres amassées généralisées Hernandez et Leclerc ont montré que l'anneau de Grothendieck des représentations d'une algèbre affine quantique admet une structure d'algèbre amassée. Le paramètre quantique peut être spécialisé à une racine de l'unité; dans ce cas, nous exhiberons une structure d'algèbre amassée généralisée sur l'anneau de Grothendieck, en types \(A_1\) et \(A_2\). L'isomorphisme ainsi établi fait notamment correspondre les variables d'amas aux modules de Kirillov-Reshetikhin qui restent irréductibles une fois spécialisés.

14h00 - 14h45 Ange Bigeni (ICJ, Université Lyon 1) A new bijection relating q-Eulerian polynomials On the set of permutations of a finite set, we construct a bijection which maps the \(3\)-vector of statistics \((\text{maj-exc},\text{des},\text{exc})\) to a \(3\)-vector \((\text{maj}_2,\widetilde{\text{des}_2},\text{inv}_2)\) associated with the \(q\)-Eulerian polynomials introduced by Shareshian and Wachs in Chromatic quasisymmetric functions, arXiv:1405.4269 (2014).

14h45 - 15h30 Henri Mühle (LIAFA, Université Paris 7) Symmetric Chain Decompositions and the Strong Sperner Property for Noncrossing Partition Lattices We prove that the noncrossing partition lattices associated with the complex reflection groups \(G(d,d,n)\) for \(d,n\geq 2\) admit a decomposition into saturated chains that are symmetric about the middle ranks. A consequence of this result is that these lattices have the strong Sperner property, which asserts that the cardinality of the union of the \(k\) largest antichains does not exceed the sum of the \(k\) largest ranks for all \(k\leq n\). Subsequently, we use a computer to complete the proof that any noncrossing partition lattice associated with a well-generated complex reflection group is strongly Sperner, thus affirmatively answering a special case of a question of D. Armstrong. This was previously established only for the Coxeter groups of type \(A\) and \(B\).