Dans deux articles rédigés peu avant sa mort, Jacobi a proposé une borne fine sur l’ordre d’un système différentiel ordinaire. Je me suis proposé de donner une traduction française de ces deux textes rédigés en latin, et devenus peu abordables. Voici des versions préliminaires des traductions, accompagnées des articles originaux.
Il est à noter que ces articles contiennent bien des résultats intéressants et tombés dans l’oubli. Le premier contient, outre la borne de Jacobi, la première mention à ma connaissance de ce que Ritt appellera « l’analogue différentiel du théorème de Bézout », mais qui était manifestement « bien connue » à l’époque, Jacobi ne mentionnant le résultat que pour mémoire dans l’introduction. Le second démontre une borne sur l’ordre de dérivation minimale des équations génératrices, nécessaire pour mettre le système en forme normale.
Enfin, Jacobi expose un algorithme, de complexité polynomiale, permettant de résoudre le problème suivant : soit (ai,j) une matrice n x n trouver une permutation σ telle que Σ ai,σ(i) soit maximal. Un tel algorithme n’a été retrouvé qu’en 1955 par Kuhn, qui l’a baptisée « méthode hongroise », l’ayant obtenue à partir des résultats de Kőnig et Egerváry. Il s’agit d’un problème bien connu en économie mathématique, sous le nom de problème des affectations (assignment problem).
On pourra consulter aussi en anglais nos traductions publiées dans un numéro spécial de la revue AAECC en 2009 :
Carl Gustav Jacob Jacobi, “Looking
for the order of a system of arbitrary ordinary differential equations.
De investigando ordine systematis aequationum differentialium vulgarium
cujuscunque”, translation from the Latin by F.O., AAECC 20, n° 1, 7-32, 2009. DOI Author's version
Carl Gustav Jacob Jacobi, “The
reduction to normal form of a non-normal system of differential
equations. De aequationum differentialium systemate non normali ad
formam normalem revocando”, translation from the Latin by F.O., AAECC 20, n° 1, 33-64, 2009. DOI Author's version
un texte inédit consacré à l'histoire de la borne de Jacobi :
F. O., “Jacobi's Bound and Normal Forms Computations”, Differential Algebra and Related Topics. Author's version ;