Reconstructeurs d'états

Il s'agit d'une méthode très récente, introduite par Michel Fliess et Hebertt Sira-Ramìrez en 2002. L'idée de base a été découverte et décrite dans le cadre de la théorie des opérateurs de Mikusinski.

Elle permet d'identifier les paramètres, puis d'estimer l'état. Elle converge pour des bruits $w(t)$ dont la moyenne tend vers $0$ ( $1/\tau\int_{0}^{t} w(\tau)d\tau$ tend vers $0$ quand $t$ tend vers l'infini), et permet d'émiminer des bruits « structurés», solution d'équations différentielles linéaires. Ceci est assez courant: bruit constant (défaut d'étalonnage d'un capteur), sinusoïdal (parasitage par l'alimentation électrique), etc.

Nous nous contenterons ici de présenter les principaux résultats dans un cadre simplifié, qui permet de se contenter d'un outillage mathématique réduit à l'intégration par partie.

Considérons un système de la forme

$$x^{(n)} + \sum_{i=1}^{n-1} a_{i}x^{(i)} = bu.$$ (6)

On souhaite dans un premier temps pouvoir calculer les coefficients. Ceci serait immédiat si l'on disposait des dérivées de $x$, mais en présence de bruit celles-ci sont difficiles à évaluer par des moyens naïfs (différences finie, etc.) On aimerait donc pouvoir intégrer notre équation jusqu'à remplacer toutes les dérivées par des intégrales. Le problème, en intégrant de $0$ à $t$, est que l'on ignore les valeurs en $0$ de $x'$, $x''$, etc. Une idée astucieuse est alors de multiplier par $t^{\ell}$, avec $\ell\ge n$ avant d'intégrer $n$ fois. On peut alors se débarasser de toutes les dérivées par intégration par partie, tous les termes étant alors nuls en $0$.

En posant $a_{n}=1$, on se ramène alors à une équation de la forme

$$\sum_{i=1}^{n} M_{i}a J_{i}(x) = bJ_{n}(u),$$ (7)

où $J_{i}(x)=\int_{0}^{t} \tau^{i}x(\tau)d\tau$ et la matrice $M$ constituée des lignes $M_{i}$ (qui se calculent par récurrence) inversible, car triangulaire., On peut ainsi évaluer les coefficients de cette nouvelle équations ( $M_{n}= (1, 0, \ldots, 0)$) et en déduire ensuite les $a_{i}$.

Détailler les calculs est un excellent exercice et le plus sûr moyen de comprendre.

Ayant obtenu les $a_{i}$, on peut ensuite calculer les dérivées de $x$. En effet, si l'on multiplie seulement par $t^{n-1}$, la $n^{\rm e}$ intégration fait apparaître un terme dépendant de $x'(0)$, ce qui nous permet de le calculer. Multipliant alors, par $t^{n-2}$, on fait apparaître $x'$ et $x''$, d'où l'on déduit $x''$ etc.

Montrons brièvement comment on peut éliminer un bruit structuré, solution de $Lw=0$. Il suffit d'appliquer l'opérateur $L$ aux deux membres de l'équation (6), pour faire disparaître le bruit. Reconstituer l'état suppose naturellement que les opérateurs $L$ et $(d/dt)^{n}+\sum_{i=1}^{n-1} a_{i}(d/dt)^{i}$ soient sans facteur commun.