Il y a plusieurs manières d'introduire les configurations récurrentes. Nous prendrons ici la vision par chaines de Markov qui permet une approche intuitive.
Considérons donc un graphe G et une configuration
stable sur ce graphe. (0 partout par exemple). Nous construison une
chaine de Markov de la manière suivante :
A partir d'une configuration donnée, on ajoute sur un sommet
tiré aléatoirement un grain de sable puis on
éboule cette configuration jusqu'à obtenir une nouvelle
configuration stable. Enfin on réitère ce processus
à partir de la nouvelle configuration.
On obtient ainsi une suite de configurations. On remarque que certaines configurations apparaitront un nombre infini de fois dans cette suite - on appellera ces configurations configurations récurrentes -, alors que d'autres n'apparaitront qu'un nombre fini de fois. -on les appellera transcientes -.
Dans toute la suite de cette introduction, nous nous interesserons essentiellement aux configurations récurrentes. En effet Dhar a montré que l'on pouvait munir ces configurations d'une loi + telle qu'on obtienne un groupe abélien. Cette loi de groupe est très simple à exprimer. En effet soient deux configurations récurrentes u et v . On notera u + v la configuration récurrente résultant de l'éboulement total de la somme sommet à sommet des deux configurations précédentes.
On peut donner quelques remarques utiles sur cette somme :
