On considère maintenant un système à retard écrit sous la forme
, avec
.
Soit
une fonction telle que
, pour
avec
. On pose
.
En intégrant par parties, on déduit de l'équation du système
Une fois obtenue une approximation du retard, on améliore
la précision du résultat en résolvant le système
,
, où
, ce
qui donnera la nouvelle approximation
.
On itère le processus.
Pour de meilleurs résultats, on peut également choisir une fonction
telle que
, par exemple
ou
.
Les valeurs des coefficients sont les mêmes que celles de l'exemple
. On a choisi la commande
et un retard
. Le
bruit est un bruit gaussien et la fréquence d'échantillonnage est de
Hz. On a pris pour
les couples
,
. On part de
et l'on itère les calculs une cinquantaine de
fois (en un temps de l'ordre de quelques secondes sur un Dell Latitude
D400), ce qui est suffisant pour atteindre un point fixe à la
précision numérique près.
Le tableau ci-dessous, qui donne la moyenne (M.) et l'écart type (É.) de séries de cent estimations des coefficients et du retard réalisées pour des bruits gaussiens d'écarts types croissant, montre que l'on obtient des estimations crédibles, même pour un niveau de bruit notable.
É. du bruit | M. ![]() |
É. ![]() |
M. ![]() |
É. ![]() |
M. ![]() |
É. ![]() |
M. ![]() |
É. ![]() |
1 | -1,2013301 | 0,0200702 | -0,3503987 | 0,0070836 | 2,0022146 | 0,0420976 | 4,0008356 | 0,0153991 |
2 | -1,2012952 | 0,0280813 | -0,3504493 | 0,0101866 | 2,0023815 | 0,059994 | 4,000781 | 0,0234536 |
5 | -1.1763456 | 0.0848359 | -0.3414087 | 0.0298163 | 1.9487169 | 0.1772991 | 3.9744399 | 0.0659957 |
10 | -1.1252249 | 0.1591226 | -0.3234272 | 0.0559417 | 1.8422743 | 0.3327821 | 3.9187225 | 0.1328752 |
Tableau 1.