Un peu d'algèbre tout de même

On appelle anneau une structure algébrique possédant une addition, une soustraction et une multiplication et une unité ($1x = x$). Un module $M$ sur une algèbre $A$ est une structure algébrique avec une multiplication externe $A\times M\mapsto M$, telle que $a(bm)=(ab)m$, $1m=m$, $(a+b)m=am+bm$, et $a(m_{1}+m_{2})=am_{1}+am_{2}$. On peut interpréter un système linéaire stationnaire comme un module sur l'anneau des opérateurs différentiels $A:={\bf R}[d/dt]$ (la dérivation n'a pas d'inverse). Si le système est commandable, le module est libre, c'est-à-dire isomorphe à $A^{m}$. S'il ne l'est pas, il existe un élément de torsion, c'est-à-dire un élément $w$ tel qu'il existe un élément $a\in A$ satisfaisant $aw=0$. Pour l'élément $w$ de la preuve du théorème, on peut prendre $a= (d/dt)^{n} - \sum_{i=0}^{r-1} (d/dt)^{i}$.

Si le système est non stationnaire, il faut faire intervenir le temps dans les équations. Suposons que les élément des matrices $A$ et $B$ soit des fractions rationnelles en $t$, on prendra alors $A:={\bf R}(t)[d/dt]$. Dans ce cas, $A$ est un anneau non commutatif, puisque $(d/dt) tm= (1+t(d/dt))m$ et donc $(d/dt) t\neq t(d/dt)$. Le théorème 10 est vrai dans ce cadre. La preuve se généralise en prenant $M:=(C_{1},\ldots,C_{n})$, où la suite $C_{i}$ est définie par la récurrence: $D_{1}=A$, $C_{1}=B$, $D_{i+1}=D_{i}'+D_{i}A$, $C_{i+1}= C_{i}'+ D_{i}B$. On peut ainsi obtenir un nouveau critère de contrôlabilité pour des systèmes non stationnaires. Vérifier ces résultats constitue un excellent exercice.