Les exemples pratiques

La contrôlabilité est une propriété générique, c'est-à-dire qu'en ajoutant aux équations d'un système non commandable des termes abitrairement petits, on peut le rendre commandable. En non-linéaire, c'est l'inverse qui se produit pour la platitude. Les systèmes non linéaires n'ont donc aucune chance d'être plats! Pourtant, les systèmes plats sont très fréquents dans la pratique industrielle, ce qui s'explique par le fait que les systèmes sélectionnés par les ingénieurs sont loin d'être tirés au hazard. Beaucoup d'entre eux ont été pilotés à la main, et le sont encore quelquefois, or un système qui n'est pas plat ou voisin d'un système plat sera très difficile à maîtriser.

Il n'existe pas de critère général de platitude. Nous verrons par la suite quelques critères valides dans des cas particuliers. En pratique, il faut avoir de l'intuition et une bonne connaissance de la physique du système: les sorties linéarisantes on souvent été remarquées de longue date comme des changement de coordonnée permettant de simplifier les calculs.

Souvent, la platitude peut être remarquée dès la mise en équation. Exemples. -- 11) Considérons une masse fixée par un cable de masse négligeable à un wagonnet se déplaçant sur un rail horizontal à une hauteur $H$ du sol. Les commandes sont la position $u$ du wagonnet et la longueur $\ell$ du cable. Les variables d'état sont les coordonnées $x$ et $y$ de la masse $m$. celle-ci est soumise à l'accélération de la pesanteur et à une force exercée par le cable, donc parallèle à celui-ci. L'angle du cable par rapport à l'horizontale est donc $\alpha:=\arctan(y''+gm/x'')$ et l'on a $\ell=(H-y)/\sin(\alpha)$ et $u=x+\ell\cos(\alpha)$. On en déduit que $x$ et $y$ sont des sorties linéarisantes. On peut choisir la trajectoire de la masse arbitrairement (pouvu que $y''>-gm$ car le cable ne peut que tirer) et en déduire les commandes nécessaires pour la réaliser.

Dans cet exemple comme dans de nombreux autres, il est plus facile d'écrire le paramétrage plat que les équations du système.

12) Nous appellerons systèmes chaînés des systèmes décrits par des vecteurs d'état $X_{i}=(x_{i,1}, \ldots, x_{i,m})^{T}$, $i=1, \ldots, n$ et satisfaisant des équations de la forme $X_{1}'=F_{1}(X_{1}, X_{2})$, $X_{i}'=F_{i}(X_{i-1},X_{i}, X_{i+1})$, pour $1<i<n$ et $X_{n}'=F_{n}(X_{n-1},X_{n},U)$, où $U$ est le vecteur des $m$ commandes du système. La commande de chaque sous système est l'état du suivant, sauf pour le dernier.

Pourvu que les matrices jacobiennes des $F_{i}$ par rapport à leur commandes $X_{i+1}$ et à leur état $X_{i}$ soient de rang $m$ le système est plat et admet $X_{1}$ comme sortie linéarisante.