Systèmes linéaires et platitude

THÉORÈME 10. -- Tout système linéaire commandable est plat. Si un système linéaire n'est pas commandable, il existe une fonction linéaire de l'état satisfaisant une équation linéaire indépendante de la commande.PREUVE. -- On se limitera ici au cas d'un système stationnaire à une commande, pour donner l'idée générale. On va montrer en fait que tout système linéaire commandable peut être mis en forme de Brunovský (avec une nouvelle commande, fonction de l'ancienne et de l'état).

Posons $z=\sum_{i=1}^{n} c_{i}x_{i}$. Le cas où $n=1$ est immédiat. Sinon, on doit avoir $(c_{1}, \ldots, c_{n})B=0$, qui exprime le fait que $z'$ ne dépend pas de $u$, $(c_{1}, \ldots, c_{n})AB=0$, qui exprime le fait que $z''$ ne dépend pas de $u$, ... $(c_{1}, \ldots, c_{n})A^{n-2}B=0$, qui exprime le fait que $z^{n-1}$ ne dépend pas de $u$. Si le système est commandable, $M=(B,AB,\ldots,A^{n-1}B)$ est inversible. On peut alors choisir $c=M^{-1}(0,\ldots,0,1)^{T}$. On aura dans ce cas $z^{(i)}=z_{i+1}$, pour $1\le i<n$ et $z^{(n)}= u + \sum_{i=1}^{n} b_{i}z_{i}$. On mettra donc le système en forme de Brunovský avec la nouvelle commande $v=u+\sum_{i=1}^{n} b_{i}z_{i}$.

Si le système n'est pas commandable, prenons pour $c$ un vecteur solution de $c(B,AB,\ldots,A^{n-1}B)=0$, et posons $w=\sum_{i=1}^{n} c_{i}x_{i}$. Nécessairement, $w^{n}$ ne dépend pas de $u$, sinon le système pourrait être mis en forme de Brunovský, on a donc une relation du type $w^{(r)}= \sum_{i=0}^{r-1} b_{i}w_{i}$. CQFD    height .9ex width .8ex depth -.1ex

La non commandabilité se manifeste donc par le fait qu'une fonction de l'état satisfait une équation autonome, indépendante de la commande.