Introduction

La notion de platitude différentielle est apparue au début des années 1990 et a marqué l'automatique non linéaire au cours de la dernière décennie du XX$^{\rm e}$ siècle, donnant lieu à de nombreuses applications industrielles.

DÉFINITION 8. -- Un système de la forme (1) est dit plat s'il existe $m$ fonctions $z_{1}, \ldots, z_{m}$ de l'état et de ses dérivées, telles que l'état puisse s'exprimer comme une fonction de $z$ et de ses dérivées. Ces fonctions $z_{i}$ sont appelées sorties linéarisantes.

À l'origine, la platitude a été introduite dans le cadre de l'algèbre différentielle, que nous n'introduirons pas ici par soucis de simplicité. Elle a été ensuite transposée dans le cadre de la théorie des diffiétés, et c'est de cette approche dont nous nous inspirons ici, tout en faisant l'économie d'une présentation abstraite. On dira un petit mot des diffiétés par la suite.

Les sorties linéarisantes ne sont pas toujours définies pour toutes valeurs de l'état. Un système peut n'être plat que sur un ouvert. Réciproquement, l'expression de l'état en fonction des sorties linéarisantes et de leurs dérivées peut n'être que locale. Donnons un exemple. Exemple 9. -- Considérons un véhicule automobile que nous décrivons par un modèle simplifié, en représentant son état par les coordonnées $x$ et $y$ d'un point quelconque du chassis et l'angle $\alpha$ entre l'axe du véhicule et une direction de référence. On prend pour commandes les dérivées $u$ et $v$ de $x$ et $y$.

L'équation du véhicule exprime la contrainte suivante: l'essieu arrière, fixe, roule sans glisser. La vitesse d'un de ses points est donc parallèle à l'axe du véhicule. Si le point $(x,y)$ est à une distance $L$ de l'essieu, on considère la vitesse de sa projection sur l'essieu, ce qui nous donne

$$\alpha' = (\cos(\alpha)v -\sin(\alpha)u)/L.$$

(Le vérifier à titre d'exercice.)

Ceci suppose $L\neq0$, sinon le point est sur l'essieu et l'on a $\alpha=\arctan(y'/x')$. Cette difficulté est en fait un grand avantage, car on peut prendre comme sorties linéarisantes les coordonnées spatiales $z_{1}$ et $z_{2}$ de tout point de l'essieu arrière. Pour déplacer le véhicule d'un point $(x_{1},y_{1},\alpha_{1)}$ à un autre $(x_{2},y_{2},\alpha_{2)}$ en un temps $T$, il suffit de trouver une trajectoire $z$ avec $z_{1}(0)=x_{1}$, $z_{2}(0)=y_{1}$, $z_{1}'(0)=0$, $z_{2}(0)'=0$, $z_{2}''(0)/z_{1}''(0)={\rm tan}(\alpha_{1})$ et $z_{1}(T)=x_{2}$, $z_{2}(T)=y_{2}$, $z_{1}'(T)=0$, $z_{2}'(T)=0$, $z_{2}''(T)/z_{1}''(T)={\rm tan}(\alpha_{2})$, ce qui permet de partir et d'arriver à vitesse nulle. Un telle courbe peut aisément être obtenue en prenant pour $z_{1}$ et $z_{2}$ des polynômes d'un degré suffisant: il suffit de résoudre un système linéaire en leurs coefficients. En revanche, éviter des obstacles éventuels pose des difficultés d'un autre ordre.

La forme de Brunovský (exemple 5) évoquée ci-dessus est un exemple remarquable de système plat, puisque $x_{1}$ est une sortie linéarisante.