Première séance. Automatique linéaire classique

L'automatique (control theory) a pour objet le contrôle automatique de procédés industriels ou d'appareillages divers. Son champ d'application est immense: mécanique, électricité, chimie, ..., tous les domaines réclament la mise au point de dispositifs permettant de supprimer ou de faciliter le pilotage humain ou la surveillance. Les systèmes biologique eux-mêmes possèdent des structures naturelles de régulation, que l'automatique peut réinterpréter par analogie avec les systèmes articiels, ce qui conduit parfois à de nouvelles thérapeutiques.

Mathématiquement, un système physique peut être décrit par un système d'équations

$$x_{i}'=f_{i}(x,u,t,\theta)\quad i=1, \ldots,n.$$ (1)

Le vecteur $x$ décrit l'état du système, les fonction $x_{i}$ représentant l'évolution temporelle de toutes les grandeurs décrivant le système à un instant donné: température, pression, intensité électrique, concentration chimique, etc.

Le vecteur $u=(u_{1}, \ldots, u_{m})$ correspond aux commandes du système, c'est-à-dire aux actions exercés sur le système, soit par un pilote humain, soit par un dispositif extérieur.

La lettre $t$ désigne le temps. Si les équations sont indépendantes du temps, le système est dit stationnaire. Enfin, le vecteur $\theta=(\theta_{1}, \ldots, \theta_{s})$ correspond à des paramètres, qui décrivent le système particulier considéré dans une classe donnée: masse d'une pièce mobile, raideur d'un ressort, résistance d'un conducteur, vitesse d'une réaction chimique, ...

La description d'un système est complétée par la donnnée des équations

$$y_{j}=g(x,t,\theta),\quad i=1, \ldots,r.$$ (2)

où les $y_{i}$ sont les mesures ou sorties du système.

La problématique typique de l'automatique est la suivante: à partir d'un état de départ donné, on veut amener le système à un nouvel état en un temps assez bref, ce qui suppose de pouvoir calculer une commande appropriée (contrôlabilité). Une fois le système amené en un point d'équilibre, on souhaite l'y maintenir (stabilisation).

La résolution de ces différents problèmes nécessite souvent de pouvoir recalculer l'état du système à partir des sorties et des commandes, si celui-ci n'est pas entièrement mesuré (observabilité), et de pouvoir aussi calculer la valeur des paramètres qui ne seraient pas connus a priori (identifiabilité).

Ce cours ne prétend pas être un cours d'automatique, qui n'aurait pas ici sa place, et n'a pas d'autre ambition que d'illustrer les apports du calcul formel dans un domaine concret.