Annexes.
Le problème de la reine
Didon
Les problèmes isopérimétriques de Jacobi sont une généralisation du fameux problème de la reine Didon, qui avait obtenu le droit pour fonder Carthage de prendre comme terrain «ce que pouvait contenir la peau d’un bœuf». Elle la fit découper en fines lanières qu’elle noua et avec lesquelle elle pu enclore une ville circulaire, puisse que c’est cette forme qui permet de maximiser la surface pour périmètre fixé (grec isos, égal). Pour le vérifier, on peut en effet essayer de maximiser l’intégrale ∫0p y(s)√1−y′(s)2 ds, où s est une abscisse curviligne, les points du contour ayant pour coordonnées (x(s), y(s)) avec x′(s)=√1−y′(s)2. On peut montrer que les intégrales extrémales sont obtenues pour yy″+1−y′2=0 (Exercice : utiliser la méthode vue pour le lagrangien). Solution. Puis, on vérifie que les trajectoires solutions correspondant à un maximum sont des cercles (on s’assure que les solutions sont de la forme y(s)=cos(as+b)/a). Il y a aussi des solutions correspondant à une surface minimale, de valeur 0, avec x′=± 1 et x″=0.
Biographie de Ritt
Il enseigna ensuite au département de mathématiques de Columbia. Il est le fondateur de l’algèbre différentielle et de l’algèbre au différence, étendant aux systèmes différentiels algébriques les méthodes d’élimination de l’algèbre commutative. En dépit de nombreuses marques d’estime et des responsabilités qu’ils a assumées au sein de la communauté mathématique des États-Unis, Ritt semble avoir souffert d’un certain manque de reconnaissance. Il se suicide en 1951, alors qu’il vient d’engager un important travail généralisant la théorie de Lie.
Algèbre différentielle
L’algèbre différentielle
inclut toutes le problématiques et des difficultés des systèmes algébriques.
Éliminer une variable, conter le nombre de points solutions [ref images] sont des problèmes difficiles. Il en apparaît
de nouveaux, comme le calcul de l’ordre ou de la dimension différentielle
(nombre de fonctions arbitraires intervenant dans une solution générale).
Un système non linéaire peut définir plusieurs composantes. Ainsi (x′)2−4x=0 définit deux composantes, l’une d’ordre 2, correspondant à des solutions de la forme x(t)=(t+c)2, où c est une constante, l’autre étant x=0. Cette composante n’est pas un cas limite de la composante principale, mais une composante singulière isolée, qui est l’enveloppe des courbes solutions de la composante principale. Voir e.g. Houtain [18].
La difficulté pour prouver la borne de Jacobi dans le cas général concerne ces composantes singulières, qui n’étaient certainement pas envisagées par Jacobi. En pratique, on considère toujours une composante irréductible unique.
L'algèbre aux différences est une théorie analogue, également introduite par Ritt. On y considère des équations algébriques entre des fonctions inconnues x et leurs transformations par un opérateur σ qui est un automorphisme de corps. Ainsi, dans le cas de différences finie, σx(t) = x(t+h). Beaucoup de résultats de l'algèbres différentielle s'étendent à l'algèbre aux différences, mais avec des adaptations parfois délicates.
Biographie
de Jacobi
Jacques Simon Jacobi est né en 1804 à Potsdam, dans une famille juive aisée. Le royaume de Prusse connaît d’importantes réformes à la suite des guerres napoléoniennes ; un édit de 1812 accorde aux juifs des droits égaux, ce qui leur ouvre l’accès aux postes universitaires19. On conçoit que l’université ait été pour un jeune homme de son milieu, plus qu’une opportunité de promotion sociale, l’affirmation d’une intégration !20 Mais en décembre 1822, la défaite napoléonienne ayant favorisé un courant réactionnaire, l'enseignement universitaire est de nouveau réservé aux seuls chrétiens. Pour passer son habilitation en 1825, Jacobi a donc dû se convertir au protestantisme, adoptant lors de son baptème les prénoms Carl Gustav Jacob sous lesquels nous le connaissons. On ne sait pas s'il le fit par nécessité ou par choix, avant ou après 1822. Il ne semble pas cependant qu’il ait été indifférent aux questions religieuses, comme c’était fréquement le cas au sein de la bourgeoisie juive. Évoquant dans ses lettres à son épouse, lors de son séjour en Italie, les qualités de son élève Borchardt, il le trouve néanmoins enfantin[17, p. 101], l’estimant déservi par l’éducation juive contemporaine, qui l’a privé de tout sentiment religieux… ce qui l’empêche d’apprécier pleinement les merveilles de l’art italien21 !
Son frère aîné Moritz Hermann (Moses) Jacobi (1801-1874) débute comme architecte à Königsberg en 1834, où son frère est déjà professeur. Il poursuivra ensuite en Russie une brillante carrière de physicien et d’ingénieur22. Il a inventé la galvanoplastie et le moteur électrique. Il a également participé au développement d'infrastructures civiles, dont des lignes télégraphiques. (Plus de détails.)
Mais la renommée du cadet sera d'emblée supérieure. Il a laissé une œuvre importante dans de nombreux domaines : la mécanique et les équations différentielles, mais aussi la théorie des nombres. Il fut d'abord professeur à Königsberg, puis, après un voyage en Italie en 1843, accompagnée de Borchardt et Dirichlet, il s'installe à Berlin où il demeure jusqu'à sa mort.
En
1848, Jacobi adopte des positions politiques qui irritent le
gouvernement. Il se voit privé de la pension qui lui permettait de
vivre à Berlin23 et doit partir
pour Gotha avec sa famille. Il obtient un poste à Vienne, ce qui incite le
gouvernement prussien à quelques concessions. Jacobi, patriote, renonce à
quitter la Prusse pour enseigner à Berlin, mais dans des conditions précaires
qui ne lui permettent pas d’y revenir en famille. Il meurt de la variole en 1851.
Décrit par le directeur du Gymnasium de Potsdam comme un esprit
universel, capable de briller dans tous les domaines, Jacobi a acquis une
solide culture classique avant de se spécialiser en mathématique. L’histoire
des mathématiques le passionne depuis sa jeunesse. Lors de son voyage en Italie, il est allé
consulter un manuscrit de Diophante la bibliothèque du Vatican.
On connaît la célèbre phrase de Jacobi, extraite d’une lettre à Legendre : «M. Poisson n’aurait pas dû reproduire dans son Rapport une phrase peu adroite de M. Fourier, où ce dernier nous fait des reproches à Abel et à moi de ne pas nous être occupé de préférence du mouvement de la Chaleur. Il est vrai que M. Fourier avait l’opinion que le but principal des mathématiques était l’utilité publique et l’explication des phénomènes naturels ; mais un philosophe comme lui aurait dû savoir que le but unique de la science est l’honneur de l’esprit humain, et que sous ce titre, une question des nombres vaut autant qu’une question du système du monde.» [15, 2.VII.1830 p. 272-273]. On y a vu parfois, à tord, la revendication d’une science coupée des applications, car Jacobi s’intéresse vivement aux recherches expérimentales de son temps, comme celles de son frère, mais aussi bien d’autres, dont il commente les progrès avec attention et quelquefois un grand luxe de détails concret24. En mécanique, il s'est par experience éloigné d'une conception axiomatique. Il faut donc y voir plutôt la revendication d'une liberte totale, qui embrasse tout les aspects de la discipline, des plus appliqués aux plus abstraits. Ce fut par ailleurs un brillant enseignant et un organisateur, qui sut initier à Konigsberg un enseignement tourne vers la recherche. Discutant avec ses élèves de questions de méthodes, il aurait répondu a l'un d'eux qui suggérait de tout apprendre avant de commencer a chercher : Où seriez vous si votre pere avant d'épouser votre mère avait voulu connaître toutes les femmes ? Il nous a donc sans doute pardonné l'oubli de quelques uns de ses nombreux travaux.
Réalisé avec HeVeA.