La surface s’exprime par l’intégrale

S :=

∫

s0 0

y(s)

√

1−y′(s)^2

ds.

On pose

δS = 

∫

s₀

0

√

1−y′(s)²

δ y(s) −

y(s)y′(s) δy′(s)

√

1−y′(s)^2

ds=0.

En intégrant par parties, ceci est équivalent à

∫

s₀

0

⎡
⎢
⎢
⎣

√

1−y′(s)²

+

y(s)y′(s)²y″(s)

(1−y′(s)²)^3/2

+

y(s)y″(s)+y′(s)²

√

1−y′(s)^2

⎤
⎥
⎥
⎦

δy ds = 0,

d’où l’on déduit, en chassant les dénominateurs :

⎛ ⎝

1−y′(s)^2

⎞2 ⎠

+ y(s) y′(s)^2y″(s) +

⎛ ⎝

y(s) y″(s) + y′(s)^2

⎞ ⎠

⎛ ⎝

1−y′(s)^2

⎞ ⎠

= y(s)y″(s) + (1−y′(s)^2) = 0.