... C.W. Borchardt¹

S. Cohn s'était déjà consacré à cet article de l'ill. Jacobi, mais emporté par une mort prématurée, il ne laissa pas de manuscrit prêt pour l'impression. [Note non reproduite dans les uvres complètes. N.d.T.]

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... p. 297-320)²

«De investigando ordine systematis aequationum differentialum vulgarium cujuscunque», reproduit dans C.G.J. Jacobi's gesammelte Werke, fünfter Band, herausgegeben von K. Weierstrass, Berlin, Bruck und Verlag von Georg Reimer, 1890, p. 193-216, traduit du latin par F. Ollivier (CNRS, LIX UMR CNRS 7161, École polytechnique, 91128 Palaiseau CEDEX, mél. francois.ollivier@lix.polytechnique.fr) avec l'aide d'Alexandre Sedoglavic (LIFL, UMR CNRS 8022, Université des Sciences et Technologies de Lille, 59655 Villeneuve d'Ascq CEDEX, mél. sedoglav@lifl.fr). (N.d.T.)

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... canonique³

Le système que l'on appelle ici canonique ou en forme canonique est le même qui dans «Theoria novi multiplicatoris » est dit mis en forme normale (J. de Crelles tome $29$ p. $369$, cf. C.G.J. Jacobi gesammelte Werke, vol. 4, p. 501) mais diffère entièrement de celui que Jacobi qualifie de canonique dans «Nova methodus aeq. diff. partiales primi ordinis integrandi » (J. de Crelles tome $60$ p. $122$, cf Jacobi, g. Werke, vol. 5 p. 128). B.

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... consid\'er\'e.⁴

On reconnaît ici ce que Ritt désignait comme «l'analogue différentiel du théorème de Bézout». N.d.T.

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...#tex2html_wrap_inline1972#⁵

Il s'agit de ce que nous appellerions les différentielles de Kaehler: $\delta u = \sum_{i} \partial u/\partial x_{i} \delta x_{i}$, qui donnent le linéarisé tangeant. N.d.T.

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... constants⁶

Cette affirmation ne peut tenir que pour le cas générique; encore est-elle loin d'être immédiate. N.d.T.

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... expression⁷

Cette notation désigne la forme de l'expression et non sa valeur particulière. Ainsi, les coefficients $A_{i}$ sont a priori différents dans $(\xi_{i})_{k}$ et $(\xi_{i'})_{k'}$ intervenant dans $v_{j}$ et $v_{j'}$ avec $j\neq j'$, me si $i=i'$ et $h=h'$. N.d.T.

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... d\'esigne⁸

Même remarque pour $[\lambda]_{m}$ qu'à la note 5 pour $(\xi)_{m}$.

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... diminue⁹

Jacobi se montre ici plus précis que dans la proposition II, puisqu'il affirme que l'ordre est toujours inférieur à $H$ si le déterminant s'annule. Ritt semblait douter que cette borne soit valable en dehors du cas générique où le déterminant est non nul (cf J.F. Ritt, Differential algebra, AMS, New York, 1950, p. 136), mais l'exemple de Ritt (loc. cit. p. 140) prend pour hypothèse l'ordre de deux composantes et non l'ordre des polynômes qui les définissent. La borne de Jacobi demeure toutefois conjecturale. N.d.T.

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... effectu\'ee¹⁰

Voir «De aequationum differentialum systemate non normali ad formam normalem revocando», publié par A. Clebsch, C.G.J. Jacobi's gesammelte Werke, fünfter Band, herausgegeben von K. Weierstrass, Berlin, Bruck und Verlag von Georg Reimer, 1890, p. 485-513. N.d.T.

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... tableau¹¹

Nous dirions sans doute aujourd'hui matrice, mais le terme n'a été introduit qu'en 1850 par Sylvester, c'est-à-dire approximativement au moment de la rédaction de cet article posthume, Jacobi étant mort en 1851 (cf Dieudonné, Abrégé d'histoire des mathématiques, Hermann, Paris, 1978, p. 96. N.d.T.

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... ensembles¹²

Malgré son anachronisme, «ensemble » a été utilisé pour traduire complexus. N.d.T.

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... s\'erie¹³

Celle contenant le maximum en $C$. N.d.T.

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... s\'erie¹⁴

Contenant $N$. N.d.T.

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... transversaux¹⁵

Voir ci-dessus la définition de la troisième classe page .

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...#tex2html_wrap_inline2936#¹⁶

Le texte d'origine comporte ici $f'$ au lieu de $f$, ce qui ne fait pas sens: une probable erreur typographique. N.d.T.

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