Identifiabilité

DÉFINITION 6. -- On dit qu'un système différentiel est identifiable si l'application qui associe aux paramètres $\theta$ le comportement entrée-sortie du système (c'est-à-dire l'application qui associe à une commande $u$ une sortie $y$) est inversible à gauche sur un ouvert dense.

Le système est localement identifiable s'il existe un ouvert dense de l'espace des paramètres sur lequel ceux-ci sont localement uniques pour un comportement entrée-sortie donné.

THÉORÈME 7. -- Un système linéaire avec des conditions initiales nulles est identifiable ssi l'application

$$\rho:\theta \mapsto \left(\matrix{C(\theta)B(\theta)&C(\theta... ...a)B(\theta)& \cdots &C(\theta)A(\theta)^{n-1}B(\theta)}\right)$$

est inversible sur un ouvert dense.

Il est localement identifiable ssi $\rho$ est localement inversible au voisinage de tout point d'un ouvert dense.

La raison pour laquelle on peut se restreindre à l'ordre $n-1$ est à peu près la même que pour les deux théorèmes précédents, mais un peu plus technique. On peut obtenir une preuve en considérant le développement en série à l'origine. On ne s'y attardera pas.

Remarquons que ce théorème ne donne aucune méthode pratique d'identification paramétrique. Tester l'inversibilité est difficile, car nos paramètres sont en général des réels (sauf par exemple pour quelques problèmes de circuits électriques). On peut tester l'existence d'un inverse à gauche rationnel par un calcul de base standard, mais ce n'est qu'une condition suffisante d'identifiabilité.

Par ailleurs, il est fréquent que l'espace des paramètres ne soit pas l'espace ${\bf R}^{s}$ tout entier: une masse ou une résistance sont toujours positives, certains paramètres ne peuvent pas dépasser certaines valeurs limites, etc.

L'identifiabilité locale se teste plus aisément en s'assurant que le rang de la matrice jacobienne de $\rho$ est maximal. Néanmoins le simple calcul d'un déterminant formel de grande taille peut devenir difficile. On a vite intérêt à tester numériquement le rang en un point (méthode probabiliste).