Observabilité

DÉFINITION 1. -- Supposant connu le vecteur de paramètres $\theta$, on dit qu'un système différentiel est observable si l'application $\phi_{u}$ qui associe aux conditions initiales $X(0)$ la fonction de sortie $y$ admet un inverse à gauche.

Cette propriété peut être testée par le critère de Kalman suivant.

THÉORÈME 2. -- Un système est observable ssi la matrice

$$\left(\matrix{C \cr CA \cr \vdots \cr CA^{n-1}}\right)$$

est de rang $n$.PREUVE. -- Pour simplifier, on suppose ici que $u$ est continue et même analytique. Connaître $u$ et $y$ au voisinage de $t=0$ revient donc à connaître leur développement en série. L'observabilité signifie alors que l'on peut calculer le développement en série de $x$ à partir de celui de $y$ et $u$.

On a $y(0)=CX$, $y'(0)=C(Ax(0) +Bu(0))$, ..., $y^{(i)}=C(A^{i}x(0) + A^{i-1}Bu(0) + \cdots Bu^{(i-1)}(0)$, ... On peut supprimer les termes dépendant de $u$ et de ses dérivées, qui sont connus. On connaît donc $CX$, $CAX$, etc. D'après le théorème de Cayley-Hamilton, $x(0)$, $\chi_{A}(A)=0$, ce qui implique que les puissances de $A$ s'expriment toutes à partir de celles de degré inférieur à $n$. La valeur de $x(0)$ peut donc être déterminé de manière unique si et seulement si le système

$$\left(\matrix{C \cr CA \cr \vdots \cr CA^{n-1}}\right) x(0) = \left(\matrix{y(0) \cr y'(0) \cr \vdots \cr y^{(n-1)}}\right)$$

admet une solution unique.    height .9ex width .8ex depth -.1ex

On voit que l'on peut plus généralement calculer $x(t)$, connaissant les dérivées de $y$ au temps $t$. Ceci ne fournit en pratique qu'une méthode médiocre d'observation, c'est-à-dire de calcul de l'état. En effet, les mesures sont souvent perturbées par des bruits, ce qui rend de plus en plus imprécise l'évaluation des dérivées par différence finie à mesure que l'ordre croît.