Discrétisations

Pour certains systèmes, linéaires ou non linéaires, on peut résoudre le problème de la planification de trajectoire en les approximant par une suite convergente de discrétisations plates. Il faut naturellement qu'il existe une suite convergente de sorties linéarisantes, et que la suite des paramétrages obtenus converge aussi. Traiter un exemple est plus éclairant que d'échaffauder une théorie générale, dont on ne dispose pas pour l'instant.

Nous reprenons l'équation de la chaleur, mais en introduisant un terme de rayonnement non linéaire:

$${\partial w\over\partial t}={\partial^{2} w\over\partial x^{2}} - w^{3}.$$

On va découper la tige en $n$ segments, et se ramener par différences finies à un système où n'interviennent plus que les fonctions d'état $w_{i}(t)$ correspondants aux températures $w(t,i/n)$:

$$w_{i}'=n^{2}(2w_{i}-w_{i-1}-w_{i+1})-w_{i}^{3},\quad 0<i\le n,$$

avec la condition limite

$$w_{0}=w_{1}.$$

Ce système est un cas simple de système chaîné, et $w_{0}$ est la sortie linéarisante. On obtient un paramétrage en posant:

$$w_{i+1}=2w_{i}-w_{i-1}-{w_{i}'+w_{i}^{3}\over n^{2}}.$$

D'un point de vue calculatoire, la méthode devient vite impraticable si l'on utilise des formules littérales, surtout si l'on prend comme valeur de $w_{0}$ une fonction $\phi(t)$ comme celle décrite ci-dessus. La meilleure solution consiste à calculer les $w_{i}$ au temps $t$ en développant la fonction $\phi$ en série à l'ordre $n-1$ au voisinage de $t$: $w_{i}$ sera alors obtenu comme une série à l'ordre $n-i$ pour $0<i\le n$. Le cours de Bruno Salvy montre comment l'on calcule rapidement avec les séries.

Ce type de calcul est le seul exemple d'utilisation de la platitude pour lequel il est vraiment difficile de se passer de calcul formel, mais ils n'apas jusqu'ici connu d'applications.

Un exemple plus impressionnant est celui d'une tige flexible non linéaire. Nous renvoyons les curieux à l'article :
http://www.stix.polytechnique.fr/ sedoglav/Load/OllivierSedoglavic2001.pdf
où il est détailler de manière abordable pour les lecteurs parvenus à la fin de ces notes.