Développements en série

Le cas le plus simple est celui de l'équation de la chaleur. On considère une tige conductrice, de longueur $1$, isolée au point $x=0$ et chauffée à une température $w=u(t)$ au point $x=1$. Le système est donc décrit par l'équation

$${\partial w\over\partial t}={\partial^{2} w\over\partial x^{2}},$$

avec les conditions aux bords $w(t,1)=u(t)$, et $w_{x}(t,0)=0$ (on utilisera par la suite cette notation pour les dérivées partielles).

L'idée de base est de traiter l'opérateur $\partial/\partial t$ comme une constante $s$. Celle-ci est inspirée par la transformation de Laplace, mais on peut l'utiliser comme un intermédiaire de calcul, un peut comme les nombres imaginaires.

On sait résoudre l'équation

$${d^{2} w\over dx^{2}} = sw,$$

la forme générale des solutions est ${\rm cosh}\left(\sqrt{s}x\right)W(0)+({\rm sinh}(\sqrt{s}x)/\sqrt{s})W_{x}(0)$. Si l'on remplace maintenant $s$ par $\partial\over\partial t$, on obtient bien des solutions à partir des développement en séries de $W(0)$ et $W_{x}(0)$. Le terme $\sqrt{\partial\over\partial t}$ n'apparaît pas, car les fonctions ${\rm cosh}(x)$ et ${\rm sinh}(x)/x$ sont paires. Dans le cas qui nous occupe, on obtient une solution

$${\rm cosh}\left(\sqrt{\partial\over\partial t} x\right) W(t,0),$$

et l'on peut donc paramétrer les trajectoires du système en choisissant arbitrairement la fonction $Z(t)=W(t,0)$, pourvu que le développement en série converge. On peut bien sûr choisir une fonction analytique, mais il suffit d'avoir $Z^{(n)}<(2n)!/R$ pour que la série en espace ait un rayon de convergence $R$ non nul. Une fonction satisfaisant cette propriété est dite Gevrey d'ordre $2$. Ceci permet d'utiliser la fonction

$$\phi(t) = {\int_{0}^{t} e^{-{1\over \tau(T-\tau)}} d\tau\over \int_{0}^{T} e^{-{1\over \tau(T-\tau)}} d\tau},$$

qui permet d'amener la tige de la température uniforme $W(0,x)=0$, à la température uniforme $W(T,x)=1$ en un temps fini $T$, ce qui est impossible avec des fonctions analytique, qui ne peuvent être non nulles tout en ayant toutes leurs dérivées nulles en un point.

Cette méthode a été appliquée avec succès à de nombreux systèmes physiques: bras de grue flexibles, cables pesants, récipients contenant des liquides. Il faut naturellement faire des hypothèses permettant de se ramener à un système linéaire possédant des solutions explicites. Lorsque les modèles deviennent complexes, l'utilisation du calcul formel est une aide appréciable pour simplifier la manipulation des formules, et surtout éviter les erreurs.