Critère de Charlet, Lévine et Marino

Ce critère de platitude a été intoduit dans un article publié en 1991, juste avant que la notion de platitude ne soit introduite en toute généralité.

THÉORÈME 18. -- Un système à une commande est plat ssi l'algèbre de Lie ${\cal L}_{i}$ engendrée par les dérivations $d_{0}:=\partial/\partial u$, $d_{1}:=[d/dt,d_{0}]$, ..., $d_{i}:=[d/dt,d_{i-1}]$ est un espace verctoriel de dimension exactement $i+1$, pour tout $0\le i\le n$.PREUVE. -- La preuve de ce théorème repose sur une idée assez semblable à ce que l'on a vu dans le cas linéaire. Si le système est plat, on peut exprimer localement toutes les $n$ fonctions d'état à partir d'une sortie linéarisante $z$ et de ses dérivées. (Il y a autant de sorties linéarisantes que de commandes, donc ici une seule.) Suposons que la sortie linéarisante dépende de la commande $u$. Alors $z'$ dépend de $u'$, $z''$ de $u''$ etc. Pour exprimer $x$ à partir des $r$ premières dérivées de $z$, il faudrait qu'un système de $r$ équations en $n+r$ variables ait une solution localement unique. C'est impossible. Par un raisonnement semblable, on montre que $z$, $z'$, ..., $z^{(n-1)}$ ne doivent pas dépendre de $u$.

La sortie linéarisante $z$ doit donc être solution du système $(\partial /\partial u) z=0$, $(\partial/\partial u)(d/dt)z=0$, ..., $(\partial/\partial u)(d/dt)^{n-1}z=0$, qui est équivalent à $d_{i}=0$ pour $0\le i\le n-1$. En effet, $(\partial /\partial u) z=0$ et $(\partial/\partial u)(d/dt)z=0$, est équivalent à $(\partial /\partial u) z=d_{0}z=0$ et $((\partial/\partial u)(d/dt)-(d/dt)(\partial/\partial u))z=d_{1}z=0$, etc.

Si l'algèbre de Lie ${\cal L}_{n-1}$ est de dimension $n$, ce système admet localement une solution $z$ non triviale. L'algèbre de Lie ${\cal L}_{n}$ est alors de dimension $n+1$ ssi le système est fortement accessible d'après de critère de Sussmann et Jurdjevic, donc ssi $z$, $z'$, ..., $z^{(n-1)}$ sont fonctionnellement indépendants. Ce équivaut à ce que la matrice jacobienne $(\partial z^{(j)}/\partial x_{i})$ soit de rang plein et que $z$ soit une sortie linéarisante. CQFD.    height .9ex width .8ex depth -.1ex

Notons que ce critère n'admet pas d'analogue pour un système à plus d'une commande. Ainsi, le système $x_{1}'=u_{1}$, $x_{2}'=u_{2}$ et $x_{3}'= u_{1}u_{2}$ admet des sorties linéarisantes $z_{1}=x_{1}$ et $z_{2}=u_{1}x_{2} - x_{3}$, dont l'une dépend de l'une des commandes, mais elle n'admet pas de sortie linéarisante ne dépendant que de l'état.