SOS - спасите наши квадраты

Страница для задач и прочих материалов по миникурсу “SOS - спасите наши квадраты” (25-28 июня 2020)

Материалы к занятию 1

Задачи не упорядочены специальным образом, нет необходимости решать их все, но настоятельно рекомендуется порешать хотя бы одну из первых двух.

1. Доказать, что неотрцательный многочлен от одной переменной преставим в виде суммы не более чем двух квадратов. Указание: посмотреть доказательство теоремы Ферма-Эйлера про представление целых чисел в виде суммы двух квадратов.

2. Доказать, что многочлен \( p(x) \in \mathbb{R}[x]\) удовлетворяет \(p(x) \geqslant 0\) для всех \(x\geqslant 0\) тогда и только тогда, когда он представим в виде \(p(x) = a(x) + xb(x)\), где \(a(x), b(x) \in \mathbb{R}[x]\) являются суммами квадратов многочленов.

3. * Сформулировать и доказать подобное утверждения для многочлена неотрицательного на отрезке. А что делать с объединением нескольких отрезков?

4. ** Охарактеризуйте многочлены степени два от двух перемнных, которые неотрицательны внутри круга \(x^2 + y^2 \leqslant 1\).

5. Доказать, что неотрицательный многочлен степени два от одной переменной с рациональными коэффициентами представим в виде суммы квадратов многочленов с рациональными коэффициентами.

6. * То же самое для степени четыре.

Материалы к занятию 2

Задачи:

1. Доказать, что многочлен \(x^2 + y^2 + 1\) не представим в виде суммы двух квадратов.

2. * Доказать, что многочлен \(x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2 + 1\) не представим в виде суммы \(n\) квадратов.

3. Докажите, что если многочлен \(p(x_1, \ldots, x_n)\) не SOS, то многочлен \(x_1^{2d} p(x_1, \ldots, x_n)\) тоже не SOS для любого \(d > 0\).

4. Доказать, что многочлен Моцкина \(x^4 y^2 + x^2 y^4 + 1 - 3 x^2 y^2\) не SOS. Указание: посмотрите на то, какие мономы вообще могли бы входит в квадраты, участвующие в разложении такого многочлена.

5. Используя теорему о бонусной точке, докажите теорему Паскаля (точки пересечения противоположных сторон вписанного шестиугольника лежат на одной прямой). Указание: вспомните, что мы сделали с теоремой Паппа.

Для интересовавшихся случаем \(n = 2,\; d = 4\):

• доказательство разложимости в сумму скольки-то квадратов и доказательство Гильберта разложимости в сумму трёх квадратов в этой замечательной книге на 283 странице (на русском)
• конструктивное доказательство (на английском) здесь

Материалы к занятию 3

Задачи:

1. Доказать, что если многочлен степени не более двух от трёх переменных равен нулю во всех точках множества \( \{ (x_0, y_0, z_0) \mid x_0, y_0, z_0 \in \{0, 1\},\; x_0 + y_0 + z_0 \neq 0\}\), то он равен нулю и в начале координат.

2. * Правда ли, что любой неотрицательный симметрический многочлен от двух переменных степени не больше четырёх представим в виде суммы квадратов?

Код с демонстрации: jupyter notebook (если хотите что-то посчитать сами), html (если просто посмотреть).

Если у вас возникло желание что-то такое посчитать самим (очень рекомендую), краткое введение в язык Julia и инструкции по установке есть, например, здесь. Спрашивайте если что.

Для интересовавшихся доказательством теоремы о бонусной точке: вот здесь есть недлинное и хорошее (Proposition 1).

Материалы к занятию 4

Код: jupyter notebook, html (на посмотреть).

Статья про гипотезу Визинга тут (есть ещё продолжение).