... diff\'erentielles¹

Un autre article posthume de l'Ill. Jacobi portant sur le même sujet et contenant les démonstrations de propositions énoncées ici se trouve dans les Diarii mathematicii vol. LXIV p. 297. (cf. ce vol. p. 191 [«De investigando ordine systematis aequationum differentialum», C.G.J. Jacobi's gesammelte Werke, fünfter Band, herausgegeben von K. Weierstrass, Berlin, Bruck und Verlag von Georg Reimer, 1890, p. 191-216])

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... Jacobi.²

Traduit du latin par F. Ollivier (CNRS), FRE CNRS 2341, École polytechnique, 91128 Palaiseau CEDEX, mél. francois.ollivier@stix.polytechnique.fr avec l'aide d'Alexandre Sedoglavic, LIFL, UMR CNRS 8022, Université des Sciences et Technologies de Lille, 59655 Villeneuve d'Ascq CEDEX, mél. sedoglav@lifl.fr. N.d.T.

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...»³

§§. 30-33 de l'article cité, Jour. Crelle, vol. XXIX, ou cette éd. vol. IV p. 495 et suiv. [«Theoria novi multiplicatoris systemati aequationum differentialum vulgarium applicandi», C.G.J. Jacobi's gesammelte Werke, vierter Band, herausgegeben von K. Weierstrass, Berlin, Bruck und Verlag von Georg Reimer, 1890, p. 495-509].

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... deux⁴

S'il y a au moins deux variables et si chacune d'elle n'intervient pas dans une unique équation, les ordres sur les dérivées $x_{1}\gg x_{2}$ et $x_{2}\gg x_{1}$ fournissent deux formes normales différentes, la première contenant une équation ne dépendant que de $x_{2}$, la seconde une équation ne dépendant que de $x_{1}$.

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...\space ⁵

La préparation appliquée, par laquelle le tableau carré $(A)$ a été changé en tableau $(B)$, fait que $2$ soit la valeur minimale de ce nombre, cette valeur apparaissant si tous les maxima se trouvent dans la même série horizontale et si en outre, dans une verticale tous les termes sont égaux entre eux. Voir Diarium math. vol. LXIV p. $312$ ou ce vol. p.  $208$. [Notre traduction p. ???]

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... s\'eries⁶

À ceci près que toutes les séries depuis lesquelles on passe à celle-ci passent dans la troisième classe. N.d.T.

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...$(H)$⁷

l'explication des signes  ${S_{1}, S_{2}}$ etc. employés dans la table du carré $(H)$ sera fournie dans le paragraphe suivant.

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... complets⁸

c'est-à-dire composés de $m$ termes.

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... auxiliaires⁹

À chaque système de maxima transversaux, on associe un ordre sur les dérivées tels que les dérivées considérées soient maximales et il lui correspond une forme normale. E.g., pour le syst`me $x_{1}' - x_{2}^{\prime\prime\prime}$, $x_{1}'' + x_{2}^{(4)}$, on a pour $x_{1}\gg x_{2}$ la forme normale $x_{1}'=x_{2}^{\prime\prime\prime}$, $x_{2}^{(4)}=0$ et pour $x_{2}\gg x_{1}$ la forme normale $x_{2}^{\prime\prime\prime}=x_{1}'$, $x_{1}''=0$. N.d.T.

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...$490$¹⁰

Il s'agit du système page . N.d.T.

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... hautes¹¹

Des formes normales. N.d.T.

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... diff\'erentes¹²

Il faut entendre que l'on peut en choisir de la sorte. Toute cette construction suppose que le déterminant Jacobien par rapport aux dérivées de têtes est non nul. N.d.T.

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... carré $(A)$¹³

L'ordre de l'équation doit être l'ordre du système. Ceci suppose que $x_{\kappa}$ est un élément primitif. Une condition nécessaire est que toutes les séries soient attachées à la $i$ $^{\hbox{\small i\\lq eme}}$ Mais on ne peut fournir une condition aussi simple que la non nullité d'un déterminant jacobien..N.d.T.

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... supprimons¹⁴

Dans $A_{\kappa}''$. N.d.T.

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... constante¹⁵

Ceci n'est bien sûr vrai que « génériquement». N.d.T.

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... tronqu\'e¹⁶

Determinans mutilatum. On trouve dans l'article «De investigando...», la même notion exprimée par un autre mot : determinans mancum (p. 197). N.d.T.

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... petit.¹⁷

Jacobi exclut donc clairement le cas des composantes singulières «isolées», pour ne prendre en compte que ce que les algébristes appelleraient la «composante principale». E.g. l'équation ${x'}^{2} - 4x$ possède une solution particulière $x=0$, d'ordre inférieur, qui n'est pas un cas limite de la solution générale $x=(t+\hbox{Cste})^{2}$ et qui annule le déterminant tronqué, qui n'est autre ici que lle séparant.

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