Library ModelSyntax


Require Import Term Conv.
Require Import Models.

Module SyntacticModel <: CC_Model.

Definition X := term.

Definition eqX : X -> X -> Prop := conv.

Instance eqX_equiv : Equivalence eqX.
Qed.

Notation "x == y" := (eqX x y) (at level 70).

Inductive mem : term -> term -> Prop :=
| MemProp :
   (forall t, mem (subst t M) (Srt prop)) ->
   mem (Abs T M) (Srt prop).

Parameter inX : X -> X -> Prop.
Notation "x \in y" := (inX x y) (at level 60).

Parameter in_ext: Proper (eqX ==> eqX ==> iff) inX.

Parameter props : X.
Parameter app : X -> X -> X.
Parameter lam : X -> (X -> X) -> X.
Parameter prod : X -> (X -> X) -> X.

Definition eq_fun (x:X) (f1 f2:X->X) :=
  forall y1 y2, y1 \in x -> y1 == y2 -> f1 y1 == f2 y2.

Parameter lam_ext :
  forall x1 x2 f1 f2,
  x1 == x2 ->
  eq_fun x1 f1 f2 ->
  lam x1 f1 == lam x2 f2.

Parameter app_ext: Proper (eqX ==> eqX ==> eqX) app.

Parameter prod_ext :
  forall x1 x2 f1 f2,
  x1 == x2 ->
  eq_fun x1 f1 f2 ->
  prod x1 f1 == prod x2 f2.

Parameter prod_intro : forall dom f F,
  eq_fun dom f f ->
  eq_fun dom F F ->
  (forall x, x \in dom -> f x \in F x) ->
  lam dom f \in prod dom F.

Parameter prod_elim : forall dom f x F,
  eq_fun dom F F ->
  f \in prod dom F ->
  x \in dom ->
  app f x \in F x.

Parameter impredicative_prod : forall dom F,
  eq_fun dom F F ->
  (forall x, x \in dom -> F x \in props) ->
  prod dom F \in props.

Parameter beta_eq:
  forall dom F x,
  eq_fun dom F F ->
  x \in dom ->
  app (lam dom F) x == F x.