Identification en temps réel avec retard lentement variable

On peut également adapter aux systèmes à retard les méthodes d'identification et d'observation en temps réel introduites dans la section 1. On utilise les équations

$$\sum_{i=0}^{n} a_{i} \left(\sum_{k=j-1}^{n-1} M_{i,j,k}I_{y,g... ...ehat h}},f_{j}} +b_{1}I_{u_{{\widehat h}},f_{j}} +0(h^{2})= 0,$$

avec $b_{\ell}=bh^{\ell}$ et $u_{{\widehat h}}(t)=u(t-{\widehat h})$. Ceci suppose que $\vert h-{\widehat h}\vert\ll 1$. On peut s'y ramener quel que soit le retard par un changement d'échelle de temps. L'évaluation du retard est alors ${\widehat h}+{\widehat{b}}_{1}/{\widehat{b}}_{0}$. On résoud le système par intégration au moyen d'une méthode de gradient comme décrit section 2. Lorsque $t>T_{0}$, on suppose que les valeurs des estimations sont devenues assez stables (il faut au moins que ${\widehat{b}}_{0}$ ne s'annule plus). On pose alors ${\widehat h}'=0$ si $t<T_{0}$ et ${\widehat h}'=\lambda_{h}b_{1}/b_{0}$ sinon. Pour plus de précision, on calcule $I_{u_{{\widehat h}},f_{j}}$ en posant $I_{u_{{\widehat h}},f_{j}}'=(1+\lambda_{h}b_{1}/b_{0})(u_{{\widehat h}}(t)-\lambda I_{u_{{\widehat h}},f_{j}})$.

Exemple 3   On utilise les mêmes commande, coefficients, type de bruit et fréquence que pour l'exemple 1. On prend $T_{0}=14$, $\lambda=1$, $\Lambda=4.10^{-3}$ et $\lambda_{h}=0,4$.

Figure 2: Estimations des coefficients et du retard, Estimations of coefficients and delay.

Exemple 4   On utilise les mêmes commande, coefficients, type de bruit et fréquence que pour les exemples 1 et 3. On prend $T_{0}=40$, $\lambda=1$, $\Lambda=4.10^{-4}$ et $\lambda_{h}=0,4$. Le retard est initialisé à $3,6$ sa valeur à $T_{0}$, afin d'accélérer la convergence.

Figure 3: Estimations du retard de $x$ et de $x'$,Estimations of the delay, of $x$ and of $x'$.