From liberti Wed Mar 26 16:10:27 2003
Date: Wed, 26 Mar 2003 15:13:39 +0100 (CET)
From: Leo 
To: Maurizio,
     Chiara,
     Franco Raimondi
Subject: Sessione INTERNET del MARCI meeting: "the pirl student problem"


[per Franco: informazioni sul MARCI a 
http://www.elet.polimi.it/upload/liberti/marci/marci.html]

Problema proposto da Maurizio Bruglieri (e posteriore discussione in cui 
si chiede il parere dell'esimio dott. prof. mavaff. Franco Raimondi):


The Pirl Student Problem
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Un professore di matematica al termine della lezione annuncia ai suoi
studenti: "La settimana prossima ci sara`  un compito e si terra` in un
giorno a sorpresa". Uno studente molto scaltro ci riflette un po' e arriva
alla conclusione che e' impossibile che la settimana successiva ci sia il
compito a sorpresa sulla base del seguente ragionamento: il compito non
puo` tenersi di sabato perche' altrimenti gli studenti arriverebbero sino
al venerdi senza avere avuto il compito e quindi saprebbero che si terra`
di sabato e quindi non sarebbe piu` in un giorno a sorpresa; ma il compito
non puo` tenersi neanche di venerdi perche' altrimenti arriverebbero sino
al giovedi senza avere avuto il compito, il sabato e` gia`  stato escluso
e quindi saprebbero che si terra` di venerdi e quindi non sarebbe piu` in
un giorno a sorpresa. E ripetenedo lo stesso ragionamento per il giovedi`
e a ritroso per tutti gli altri giorni della settimana il compito a
sorpresa non puo` tenersi in nessun giorno della settimana! Forte del suo
ragionamento lo studente non si prepara per il compito ma la settimana
successiva, il venerdi`, si ritrova il famigerato compito a sorpresa! In
che cosa e` sbagliato il ragionamento dello studente?



DIMOSTRAZIONE DI TIPO PROBABILISTICO
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E1 = evento che il compito sia lunedi`
E2 =   "     "   "   "      "  martedi`
...
E6 = evento che il compito sia sabato

Il ragazzino dice: 

Supponiamo E, dove

E=E6 e ~E5 e ... e ~E1

Dunque, venerdi` sera, P(E) = 1. E quindi non c'e' sorpresa, e quindi non 
c'e' il compito, e quindi P(E) = 0, contraddizione, quindi dobbiamo avere 
~E6.

Adesso supponiamo E', dove

E'= (E6 o E5) e ~E4 e ... e ~E1

Dunque, giovedi` sera abbiamo 

  P(E') = P(E6 e ~E4 e ... e ~E1) + P(E5 e ~E4 e ... e ~E1) = 1

Ora il ragazzino vorrebbe dire che dato che ha provato in precedenza che
il compito non e` di sabato, allora una delle due P nella somma e` 0. Ma
qui commette un errore, perche' nella somma l'evento e`

  E6 e ~E4 e ... e ~E1

mentre il "teorema" di prima prova che la probabilita` 0 e` associata 
all'evento

  E6 e ~E5 e ~E4 e ... e ~E1

che e` ben diverso (per via della presenza/assenza di ~E5).



DIMOSTRAZIONE DI TIPO LOGICO
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LEMMA1: il compito non puo` essere di sabato. 
IPOTESI: supponiamo che il compito sia di sabato
PROVA: dunque non e` lun, ..., ven, si perde la sorpresa, contraddizione.

LEMMA2: il compito non puo` essere di venerdi`
IPOTESI: supponiamo che il compito sia di venerdi`
PROVA: dunque non e` lun, ..., gio. Ora si vorrebbe invocare il LEMMA1 per 
dire che non e` di sabato, e qui c'e' l'errore: Dato che l'ipotesi del 
LEMMA2 e` che "il compito e` venerdi`" non si puo` invocare un altro lemma 
che ha come ipotesi "il compito e` di sabato". Sarebbe come invocare il 
teorema di pitagora sulla superficie di una sfera (ma che bella metafora). 



CONCLUSIONE E VERA SPIEGAZIONE
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In realta`, pero`, nessuna delle due spiegazioni e` davvero convincente,
perche' fanno tutte uso di un concetto di "sorpresa" che non e` stato
formalizzato in modo accettabile per la logica booleana (come diceva
Maurizio). La vera spiegazione e` che la sorpresa e` a priori, non a
posteriori. Se si decide all'inizio della settimana che un compito ha la
proprieta` "a sorpresa", rimane con la proprieta` "a sorpresa" anche il
venerdi` sera quando ormai e` ovvio che sara` il sabato: le proprieta`
della logica booleana non sono semantiche, sono sintattiche. Nelle logiche
temporali il concetto di sorpresa potrebbe essere formalizzabile in modo
piu` convincente. E qui tiro in causa il mio amico Franco Raimondi che sta
facendo un PhD in logica temporale al King's College di Londra. Franco,
che ci dici di 'sto problema?

Leo