Laboratoire d'informatique de l'École polytechnique

Séminaire Combi: exposés par Friedrich Wehrun et Alina Mayorova

Speaker: Friedrich Wehrun et Alina Mayorova
Location: Salle Flajolet, LIX
Date: Wed, 5 Dec 2018, 11:00-16:00

Ce mercredi, nous aurons 2 exposés dans le cadre du séminaire Combi:

  • à 11h00, Friedrich Wehrung (Université de Caen) nous parlera de La théorie équationnelle de l’ordre faible de Bruhat

  • à 15h00, Alina Mayorova (Ecole Polytechnique) nous parlera de Type B extensions of Cauchy identity and Schur-positivity related to Chow’s quasisymmetric functions.

Les résumés sont disponibles ci-dessous et sur le site du séminaire : https://galac.lri.fr/pages/combi-seminar.html

La théorie équationnelle de l’ordre faible de Bruhat

Ceci est un travail joint avec Luigi Santocanale.

Il est connu que pour tout entier naturel n, le groupe symétrique d’ordre n peut être muni d’une structure de treillis, souvent appelé le permutoèdre sur n lettres P(n), qui est aussi l’ordre faible de Bruhat de type A_{n-1}. Björner et Wachs ont montré que le treillis de Tamari A(n) est un rétracte, pour la structure de treillis, de P(n). Par suite, toute identité (« loi ») de théorie des treillis, valide dans tous les P(n), est également valide dans tous les A(n). La réciproque est fausse, car il existe une identité valide dans tous les A(n) mais non valide dans P(4).

La théorie équationnelle de tous les P(n), c’est à dire l’ensemble de toutes les identités satisfaites par tous les P(n), est décidable. Un résultat similaire est valide pour tous les A(n), ou des classes plus générales de treillis Cambriens de type A. La théorie équationnelle de tous les P(n) n’est pas triviale: il existe une identité (à 15 variables) valide dans tous les P(n), mais non satisfaite par un certain treillis à 3338 éléments.

Références :

  • Luigi Santocanale et Friedrich Wehrung, Sublattices of associahedra and permutohedra, Advances in Applied Mathematics 51, no. 3 (2013), 419--445.
  • Luigi Santocanale et Friedrich Wehrung, The equational theory of the weak Bruhat order on finite symmetric groups, Journal of the European Mathematical Society 20, no. 8 (2018), 1959--2003

The Cauchy identity is a fundamental formula in algebraic combinatorics that captures all the nice properties of the RSK correspondence. In particular, expanding both sides of the identity with Gessel's quasisymmetric functions allows to recover the descent preserving property, an essential tool to prove the Schur positivity of sets of permutations. We introduce a new type B extension of Schur-positivity based on Chow's quasisymmetric functions and domino functions, i.e. generating functions for domino tableaux. Further, we suggest a q-analogue of the modified domino functions to extend a type B Cauchy identity by Lam and link it with Chow's quasisymmetric functions. We apply this result to a new framework of type B q-Schur positivity and to prove new equidistribution results for some sets of domino tableaux.