Thèse
Ma thèse s'intitule "Moyenne arithmético-géométrique, suites de
Borchardt et applications". Je la soutiendrai le vendredi 7 avril 2006,
à 11h, à l'École polytechnique (amphithéatre Carnot),
devant un jury constitué de : John Boxall, Philippe Flajolet, Guillaume Hanrot,
Jean-François Mestre, François Morain et Frederik Vercauteren.
Résumé :
L'étude de la moyenne arithmético-géométrique (AGM), introduite il y a plus de
deux siècles par Legendre, Lagrange et Gauss, est intimement liée aux theta
constantes ainsi qu'à certaines fonctions modulaires. Ceci est le point de
départ des travaux que j'exposerai, qui utilisent cette relation pour
concevoir un algorithme rapide d'évaluation de fonctions modulaires en genre 1
utilisant l'AGM et des itérations de Newton. Une autre application que
j'aborderai est l'évaluation rapide du logarithme complexe.
Dans une seconde partie, je m'intéresse aux iterations de Borchardt, procédé
qui, par ses relations avec les theta constantes, peut être vu comme une
généralisation de l'AGM à un genre quelconque. Je démontre les propriétés de
convergence des suites de Borchardt sur les complexes, et étudie les limites
possibles des suites de Borchardt de quatre éléments, généralisant un résultat
connu concernant l'AGM. Enfin, je propose un algorithme utilisant les suites de
Borchardt pour l'évaluation de matrices de Riemann associées à des courbes
hyperelliptiques en genre quelconque, ainsi qu'un algorithme pour l'évaluation
rapide de fonctions modulaires en genre 2. Pour illustrer l'intérêt de ces
algorithmes, je montre comment ils peuvent être utilisés pour calculer des
polynomes modulaires en genre 2.
Une version (encore non définitive) de mon mémoire est disponible ici.