Jean-François Marckert

Convergence des serpents discrets: bilan

Résumé:

Un serpent discret est un objet aléatoire construit à l'aide de deux 
niveaux d'aléa:
- tout d'abord un arbre T est choisi sous une certaine loi P.
-  T est alors étiqueté comme suit: la racine prend l'étiquette 0. Puis 
chaque noeud $u$ de T reçoit
l'étiquette de son père $v$ augmentée d'une certaine variable aléatoire 
$X(uv)$.
Ainsi, conditionnellement à T, lorsque l'on monte dans l'arbre, la suite 
des étiquettes visitées constitue une marche
aléatoire.

Dans cet exposé, on fera le bilan des résultats récents concernant 
l'asymptotique des serpents discrets construits sur des arbres de 
Galton-Watson conditionnés par la taille (modèles des arbres pondérés de 
la combinatoire).
On donnera quelques éléments concernant le Serpent Brownien, limite 
naturelle des serpents discrets. On montrera
que le serpent Brownien est un objet pouvant être obtenu  à l'aide d'un 
seul niveau d'alea (avec  T seulement) ,
dégageant  ainsi des propriétés asymptotiques fines des arbres de GW 
conditionnés par la taille.

On explicitera  certains bénéfices dans l'étude des cartes aléatoires.