Ma soutenance d'habilitation aura lieu le vendredi 10 juillet à 15h (heure de Paris) en visio-conférence.
My habilitation defense will take place virtually on Friday July 10th at 3pm (Paris time).

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Documents

• mémoire d'habilitation / habilitation manuscript.
• transparents de la soutenance / slides of the presentation.

Jury

• Frédéric Chapoton (CNRS & Université de Strasbourg), rapporteur
• Florent Hivert (Université Paris-Saclay)
• Bernard Leclerc (Université de Caen)
• Lionel Pournin (Université Paris Nord)
• Nathan Reading (North Carolina State University), rapporteur
• Maria Ronco (Universidad de Talca)
• Sibylle Schroll (University of Leicester)
• Hugh Thomas (Université du Québec à Montréal), rapporteur

Résumé

Des permutaèdres aux associaèdres, une promenade à travers la combinatoire géométrique et algébrique

Les permutaèdres et les associaèdres sont des polytopes classiques dont les structures de faces sont données par la combinatoire des permutations et des arbres binaires. Nous présentons une étude combinatoire, géométrique et algébrique de généralisations de ces polytopes autour de quatre thèmes principaux :

1. Treillis quotients de l'ordre faible : Nous étudions les congruences de treillis de l'ordre faible sur les permutations, construisons des réalisations polytopales appelées quotientopes, et définissons des algèbres de Hopf combinatoires associées. Nous développons en particulier plusieurs familles d'exemples, dont les k-twists et les permutarbres qui généralisent les arbres binaires dans deux directions différentes.
2. Au delà de l'ordre faible : Nous étudions des généralisations de l'ordre faible d'une part à toutes les faces des permutaèdres des groupes de Coxeter finis, et d'autre part aux posets sur des entiers ou sur certains sous-ensembles de systèmes de racines cristallographiques.
3. Algèbres amassées et associaèdres généralisés : Nous construisons des réalisations polytopales des éventails de g-vecteurs des algèbres amassées de type fini, d'abord via la construction d'un associaèdre universel, ensuite via la description des cônes de type de ces éventails, et enfin via la construction des polytopes de briques de complexes de sous-mots.
4. Complexes platoniques et parallèles : Nous étudions des complexes simpliciaux associés aux carquois aimables ou de manière équivalente à certaines dissections de surfaces. Dans le cas où ces complexes sont finis, nous montrons qu'ils admettent des structures de treillis généralisant le treillis de Tamari et des réalisations polytopales généralisant les associaèdres.

Abstract

From permutahedra to associahedra, a walk through geometric and algebraic combinatorics

Permutahedra and associahedra are classical polytopes whose face structures are described by the combinatorics of permutations and binary trees. We present a combinatorial, geometric and algebraic study of generalizations of these polytopes around four main topics:

1. Lattice quotients of the weak order: We study the lattice congruences of the weak order on permutations, construct polytopal realizations called quotientopes, and define corresponding combinatorial Hopf algebra. We develop in particular several families of examples, including k-twists and permutrees generalizing binary trees in two different directions.
2. Beyond the weak order: We study some generalizations of the weak order on the one hand to all faces of the permutahedra of finite Coxeter groups, and on the other hand to integer posets or to specific subsets of crystallographic root systems.
3. Cluster algebras and generalized associahedra: We construct polytopal realizations for the g-vector fans of the finite type cluster algebras, first via the construction of a universal associahedron, then via the description of type cones of these fans, and finally via the construction of brick polytopes of subword complexes.
4. Non-kissing and non-crossing complexes: We study simplicial complexes associated to gentle quivers or equivalently to certain dissections of surfaces. In the situation when these complexes are finite, we show that they admit lattice structures generalizing the Tamari lattice and polytopal realizations generalizing the associahedra.