Wednesday 16th January 2008

Frederic Chazal (INRIA Futur, GEOMETRICA, Saclay, France)

Stabilité d'une famille de mesures pour l'inférence géométrique

Abstract
La caractérisation de structures géométriques dans des masses de données représentées par des nuages de points (souvent en grande dimension) est un enjeu important en analyse de données. Lorsqu?on étudie des données en grande dimension, il est souvent supposé qu?elles sont échantillonnées au voisinage d?une « forme » de petite dimension. Il est alors important de disposer de méthodes permettant d?inférer les propriétés topologiques et géométriques d?une telle forme. Les méthodes actuelles supposent essentiellement que les formes recherchées sont des variétés lisses et ne permettent généralement pas d?inférer des propriétés locales de ces formes. Elles se révèlent également inopérantes lorsqu?il s?agit de traiter de grosses masses de données. En pratique, il apparait souvent que les données échantillonnent des formes plus complexes que des sous-variétés. Il est alors important de pouvoir caractériser des propriétés géométriques locales (singularités, arêtes vives, strates,?) de ces formes. Dans cet exposé, nous introduirons une famille de mesures associée à chaque compact de $\R^n$ qui porte des informations géométriques sur le compact. Nous montrerons un résultat de stabilité qui permet d?obtenir un algorithme de calcul robuste de ces mesures pour des nuages de points. Nous montrerons aussi quelques conséquences de ce résultat concernant les mesures de courbures.