Pi... et tout le reste : r'eponses (version postscript)

1. Est-ce que la terre tourne autour du soleil ou est-ce que le soleil tourne autour de la terre? Quelle est la d'emonstration? (Si la terre tourne autour du soleil, c'est par rapport `a quoi?)
   

   R'eponse : Par rapport `a la terre, le soleil tourne autour de la terre.
   

   D'emonstration :
   Le matin, le soleil se l`eve a l'est.
   A midi, il est au dessus.
   Le soir, il se couche a l'ouest.
   
   

   La m'ethode scientifique (hypoth`ese soutenue par experience) d'emontre que le soleil tourne autour de la terre.
   
   

   Question : Pourquoi est--ce que la majorit'e est convaincue du contraire?
   
   

   Depuis ``la r'evolution copernicienne'' les sciences sont devenues contre--intuitives.
   

   Les gens savent des choses qu'ils ne peuvent pas expliquer.
   

   Je pr\'ef\`ere savoir ce que je sais.
   

   Quels faits int\'eressant pouvez--vous expliquer aux scientifiques anciens?

   Quels faits int'eressant pouvez--vous donner qu'ils ne savaient pas d'eja?
   
   

   Par rapport aux 'etoiles immobiles, la terre tourne autour du soleil.
   

   Les 'etoiles tournent ensemble autour de la terre environ une fois par jour.
   Cela donne la sph`ere des 'etoiles.
   Le soleil tourne aussi avec les \'etoiles, mais une fois moins par an. Le soleil fait un tour de la sph`ere des \'etoiles par an.
   
   Est-ce que les 'etoiles font des petits cercles `a cause du mouvement de la terre?
   
   (= parallaxe).

   • Aristarque (3`eme si`ecle av. J.C.) propose que la terre tourne autour du soleil (oeuvre perdue).
     
   • Archim`ede (3`eme si`ecle av. J.C.). utilise l'hypoth\`ese d'Aristarque.
     
   • Ptol\'em\'ee (2`eme si`ecle) d'eveloppe un mod`ele g'eocentrique tr`es pr'ecis. Un mod\`ele pratique pour les observations.
     
   • Copernic (1543) propose un mod`ele similaire `a celui de Ptol'em'ee mais avec la terre tournant autour du soleil. Son mod`ele est moins precis et n'est pas bas'e sur la physique.
     
   • Kepler (1618--1621) propose un mod`ele h'eliocentrique bas'e sur sur des lois simples.
     
   • Galil'ee (1633) est condamn'e par l'inquisition. Il a d'emontr'e que Venus tourne autour du soleil (d'eja propos'e par les grecs anciens) et que Jupiter a des satellites.
     
   • Newton (1687) prouve les lois de Kepler en utilisant ses lois du mouvement et la th'eorie de la gravitation.
     
   • Bessel (1837--1840) observe la parallaxe des 'etoiles.
   
   
   
   
2. Est-ce que la terre est ronde? Quelle est la d\'emonstration?
   

   R'eponse : Oui, elle est ronde.
   
   D\'emonstrations :

   • Connus par tout les marins : Les objets (bateaux, montagnes) disparaissent sous l'horizon.
     
   • Aristote (4`eme si`ecle av. J.C.). L'ombre de la terre pendant une eclipse lunaire.
     
   • Ptol'em'ee Si la terre etait plate (cube, pyramide) le soleil se coucherait en m^eme temps pour tout le monde. Mais, le coucher de soleil est different selon l'est ou l'ouest.
     Les \'etoiles du sud ne sont pas visibles dans le nord.
     
   • 'Erastoth\`ene (3`eme si\`ecle av. J.C.) Circonf'erence de la terre = 250000 stades (40000 kilom`etres).
   
   
   
   
3. Classez par ordre du plus petit au plus grand (avec preuves) :

   (a) terre, (b) lune, (c) soleil.
   
   R'eponse : lune, terre, soleil.
   
   
   Preuve : La lune est plus petite que le soleil.
   

   Eclipse du soleil : la lune est devant le soleil mais couvre le m^eme angle.
   Dans une eclipse annulaire du soleil la lune ne couvre pas le soleil (Malaisie, le 24 ao^ut, 1998).
   
   La lune est plus petite que la terre :
   
   Eclipse de la lune. L'ombre de la terre recouvre toute la lune.
   
   On peux aussi 'estimer la courbe de l'ombre de la terre.

   • Hipparque Diam`etre de la lune = ,36 diam`etre de la terre.
     
   • Ptol'em'ee Diam\`etre de la lune = ,29 diam\`etre de la terre.
     
   • R'ealit'e Diam`etre de la lune = ,27 diam`etre de la terre
   
   Le diam`etre de la lune est au moins un quart du diam`etre de la terre.
   
   

   Soleil est plus grand que la terre (difficile).
   
   Le soleil est au moins 8 fois plus 'eloign'e que la lune. Donc le diam`etre du soleil est au moins 8 fois celui de la lune. Donc le diam\`etre du soleil est au moins 2 fois celui de la terre.
   

   • Hipparque Diam`etre du soleil = 6+3/4 diam`etres de la terre.
     
   • Ptol'em'ee Diam`etre du soleil = 5 +1/2 diam`etres de la terre.
     
   • R'ealit'e Diam`etre du soleil = 108,9 diam`etres de la terre.

   Id'ee d'Aristarque. La moiti'e lune. Estimation de l'angle. Les distance du soleil et de la lune sont proportionelles `a leurs diam\`etres.
   

   Une observation > 83 degr'es (soleil est 8 fois plus 'eloign'e) est suffisante.
   

   Aristarque 87 degr'es (soleil est 19 fois plus 'eloign'e).
   

   Valeur r'eelle 89 degr'es 50' (soleil est 382 fois plus 'eloign'e).
   

   A la moiti'e lune, le soleil se couche quand la lune est au dessus.
   
   
   

4. Est-ce que la mati`ere est compos'ee d'atomes ou est--elle continue? Quelle est la d\'emonstration?
   

   R'eponse : A vous de d'ecouvrir.
   
   
   

5. Un jour = 24 heures. Quelle ph'enom`ene physique est mesur'e par cette dur'ee?
   
   

   R'eponse : Le temps moyen pour que le soleil tourne une fois autour de la terre = Le temps, en moyenne, que le soleil revienne tout `a fait au sud (midi).
   
   La terre tourne {\sl par rapport aux \'etoiles\/} donc un tour de la terre = un tour des 'etoiles par rapport `a l'observateur terrestre.
   
   365,25 tours pour chaque jour + 1 pour le tour autour du soleil (Etoiles d'hiver, \'etoiles d'\'et\'e, etc.) Un tour de terre est plus court qu'un jour. Un tour de terre = 23 heures, 56 minutes.
   
   

   La dur'ee du jour solaire est plus courte aux 'equinoxes et plus longue aux solstices. D'apres le jour solaire, le 21 d\'ecembre est le jour le plus long. La diff\'erence entre le vrai midi et le midi civil = l''equation du temps importante pour les cadrans solaires.
   
   
   

6. Un an = 365,24219 jours. Quelle ph'enom`ene physique est mesur'e par cette dur'ee?
   
   

   R'eponse : Le retour des saisons.
   

   Un an est le temps, en moyenne, pour le retour de l''equinoxe du printemps. 'equinoxe = moment o`u le soleil est exactement entre le pole nord et le pole sud.
   
   L'ann'ee est decal'ee de 20 minutes par ans par rapport `a l'orbite de la terre autour du soleil.
   
   Retour du soleil `a la m^eme 'etoile = 1 an + 20 minutes. Un cycle de 26000 ans.
   
   Ce d'ecalage s'appelle la pr'ecession des 'equinoxes.
   
   Une d'ecouverte de Hipparque 2`eme si`ecle av. J.--C..
   
   
   

7. Quel est votre signe astrologique?
   
   

   R'eponse :
   

   Les 'etoiles travers'ees par le soleil sont le zodiac. Signe astrologique = Constellation o`u se trouve le soleil.
   

   L'astrologie a 'et'e 'etablie par Ptol'em'ee il y a 1800 ans. Mais le d'ecalage est ignor'e par les astrologues.
   

   Il y a donc 28 jours de d'ecalage entre l'astrologie et la ``vraie'' astrologie.
   
   
   

8. En 1897 l'etat d'Indiana ('Etats--Unis) a essay'e de faire approuver une loi d'efinissant que pi = 3. Prouvez qu'ils avaient tort.
   

   La d'efinition de pi est : circonf'erence d'un cercle divis'e par diam`etre du cercle
   
   

   R'eponse : En 1897, le docteur Edwin J. Goodwin de Solitude, Indiana a propos'e cette loi. (Ou peut-etre pi = 3, 2 ou 16/sqrt(3).)
   Il accorde celle--ci gratuitement, m\^eme apr\`es avoir resolu la trisection de l'angle, la duplication du cube et la quadrature du cercle avec r`egle et compas.

   La loi a 'et'e examin'ee par le comit'e des mar'ecages, de l''education, et temp'erance, et a 'et'e recomend'ee. Elle a pass'e le House of Representatives. Elle aurait s^urement pass'e le S'enat. Mais le Professeur C.A. Waldo de l'Universit'e de Purdue visitant Indianapolis a d'ecouvert l'erreur et a sauv'e l'honneur de l'etat.

   L'histoire complete est ici.
   
   

   Preuve que pi n'est pas 'egal a 3.
   

   Inscrire un hexagone r'egulier dans un cercle de diam`etre 2.
   
   
   
   
   
   
   
   
   

   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   Le p'erim`etre de l'hexagone est 6 puisque qu'il est compos'e de 6 triangle 'equilat`eres.
   
   
   
   
   
   
   
   

   Puisque une ligne droite est la distance la plus courte entre deux points la circonf'erence du cercle est > 6. Puisque le diam`etre du cercle =2, circonf'erence du cercle divis'e par diam`etre du cercle est > 6/2 = 3. Donc pi > 3.
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   

9. Calculez le premier chiffre significatif de pi (donc pi = 3,14...).
   C'est `a dire, prouvez que 3 < pi < 4.
   
   

   R'eponse : Archim`ede a prouv'e que pi = 3,14...

   Dans La Mesure du Cercle il a d'emontr'e que
   
   3, 1408450.. < 3 + 10/71 < pi < 3+ 1/7 = 3,142857...
   
   en utilisant des polygones de 96 cot'es.
   
   Le 20 septembre 1999, Y. Kanada a calcule 206 158 430 208 chiffres de pi. Il a utilis'e un algorithme de Borwein et Borwein et le calcul a dur'e 46 heures sur un Hitachi SR8000 (superordinateur avec 1024 processeurs).
   
   pi > 3 a 'et'e d'emontr'e. Il faut d'emontrer que pi < 4.
   
   Un cercle de diam`etre 2 dans un carr'e de cot'e 2.
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   Circonf'erence du cercle est plus petite que le p'erim`etre du carr'e = 8. Donc pi < 8/2 = 4.
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   

10. Prouvez que pi existe. Que doit--on prouver? C'est `a dire, qu'elles sont les hypoth`eses et th'eor`emes cach'es dans la d'efinition de pi?
    
    

    R'eponse : La d'efinition de pi est un th'eor`eme
    

    Th'eor`eme : La circonf'erence d'un cercle est proportionelle `a son diam`etre.
    
    Donc, la valeur de pi est ind'ependante du choix du cercle.
    
    Preuve dans ``Le fascinant nombre pi'' Par Jean--Paul Delahaye. Mais, il faut aussi prouver que la circonf'erence d'un cercle n'est pas infinie.
    
    Les fractales sont des courbes de longueur infinie.
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    La preuve que pi < 4 a une faille : Pourquoi est--ce que circonf'erence du cercle < p'erim`etre du carr'e?
    
    Archim`ede : le prend comme postulat.
    
    Deux courbes convexes, l'int'erieure est plus courte.
    
    Mais, c'est facile `a prouver.
    
    

    Pour les d'etails voir ma preuve.