Philippe DI FRANCESCO, CEA Saclay SPhT

Physique et Combinatoire: les miracles de l'integrabilite

Quel est le lien entre les suites 1,2,7,42,429,... et 1,3,23,441,21009,...
qui comptent respectivement les matrices \`a signes altern\'es et les
degr\'es des vari\'et\'es orbitales nilpotentes du groupe lineaire? Nous 
montrerons comment ces deux suites se cachent dans un systeme classique de
physique statistique: le gaz de boucles denses sur le r\'eseau carr\'e.
En utilisant l'int\'egrabilit\'e du mod\`ele, nous esquissons la preuve de
la conjecture de Razumov-Stroganov qui identifie la somme des composantes
du vecteur propre d'\'energie nulle du Hamiltonien du gaz de boucles avec
le nombre de matrices \`a signe altern\'e. Ceci nous m\`enera \`a une
interpr\'etation g\'eom\'etrique, dans le cadre plus g\'en\'eral des
solutions polynomiales de l'\'equation de Knizhnik-Zamolodchikov quantique,
\'etablissant finalement le lien entre ces deux classes assez diff\'erentes
de probl\`emes combinatoires.