Relâchant les contraintes sur les degrés des équations définissant les courbes, on obtient des courbes superelliptiques de la forme yn = xd + ... ou, encore plus générales, des courbes Cab. Pour ne pas être elliptiques ou hyperelliptiques, ces courbes doivent avoir un genre d'au moins 3. Leur Jacobienne peut être définie de manière abstraite et fournit encore un groupe abélien.
Néanmoins, calculer dans ce groupe est beaucoup plus difficile. En effet, vivant dans un groupe de classes, c'est-à-dire un group quotienté par une relation d'équivalence, les éléments de la Jacobienne n'admettent pas d'écriture unique. Il convient donc d'abord d'identifier un représentant canonique pour chaque élément, ensuite de mettre au point des algorithmes pour la loi de groupe manipulant ces représentants canoniques. De tels algorithmes ont été conçus par Galbraith, Paulus et Smart pour les courbes superelliptiques et par Arita pour les courbes Cab. Dans le cas de courbes cubiques, Basiri, Enge, Faugère et Gürel ont proposé deux autres approches, l'une généralisant l'algorithme de Cantor pour les courbes hyperelliptiques, l'autre se fondant sur un changement d'ordre de bases de Gröbner. La deuxième méthode a servi à fabriquer des formules explicites pour l'arithmétique de la Jacobienne.
Pour calculer le cardinal d'un tel groupe, Gaudry et Gürel ont étendu l'algorithme p-adique de Kedlaya aux courbes superelliptiques. Leur implantation permet d'atteindre les tailles cryptographiques. En grande caractéristique, les algorithmes existants, bien que polynomiaux en la taille du corps, sont exponentiels en le genre, de sorte qu'ils ne sont plus pratiques même pour un genre 3.
En ce qui concerne la difficulté du logarithme discret, les mêmes algorithmes que pour les courbes hyperelliptiques permettent en principe de résoudre le problème. Bien qu'une preuve formelle de leur complexité sous-exponentielle fasse encore défaut, on s'attend à ce que les courbes de genre supérieur à 4 soient plus faciles à attaquer que les courbes ellptiques. Ainsi, seul les courbes cuniques seraient d'un intérêt cryptographique.