Il s'agit d'une généralisation des courbes elliptiques dans le sens que le degré en x des équations définissantes peut être plus élevé. Plus précisément, une courbe de genre g est donnée par une équation du type y2 + (ag xg + ...) y = x2 g + 1 + ... Ainsi, une courbe hyperelliptique de genre 1 n'est autre qu'une courbe elliptique.
Les algorithmes de Cantor, généralisés pour la caractéristique 2 par Koblitz et Enge, réalisent de façon polynomiale l'arithmétique dans les courbes hyperelliptiques. Une comparaison des différentes approches a été effectuée par Enge.
Toutes les méthodes existant pour les courbes elliptiques peuvent être étendues, du moins en théorie, aux courbes hyperelliptiques. Des premières avancées ont été effectués dans ce sens, aussi bien en ce qui concerne les méthodes à la Schoof que les méthodes p-adiques. L'algorithme AGM de Mestre s'étend aux courbes de genre 2 (forcément hyperelliptiques) et fonctionne très bien en pratique; il est plus lent d'un facteur 3 environ par rapport à une courbe elliptique de la même taille. Par ailleurs, Kedlaya a introduit une nouvelle approche, basée non plus sur le relèvement canonique, mais sur la cohomologie de Monsky-Washnitzer. Son algorithme fonctionne pour les courbes hyperelliptiques en caractéristique différente de 2. Gaudry et Gürel ont ensuite implanté cet algorithme, montrant ainsi que les tailles cryptographiques sont atteignables pour cette classe de courbes. Vercauteren et Denef ont trouvé une adaptation de l'algorithme pour traiter le cas hyperelliptique en caractéristique 2. Là encore des implantations prototypes ont démontré la faisabilité en vraie grandeur. Citons pour finir les travaux de Lauder et Wan qui en rendant effective la preuve de Dwork de la rationalité de la fonction Zeta ont fourni un algorithme polynomial qu'ils ont ensuite adapté au cas particulier des courbes hyperelliptiques.