Résumé
Dans cette thèse, nous nous sommes intéressés à deux modèles discrets, dont nous avons étudié les propriétés dynamiques et combinatoires. Les systèmes dynamiques discrets suscitent un intérêt grandissant, dans la mesure où ils cachent souvent une complexité importante dans leur comportement qui contraste avec la simplicité des règles qui les régissent. Beaucoup espèrent y voir des modèles pour de nombreux phénomèmes naturels et les premiers résultats nous inclinent à l'optimisme. Le premier modèle que nous avons étudié dans cette thèse a joué un rôle moteur, si ce n'est majeur, dans ce mouvement intellectuel. Il s'agit du modèle du tas de sable qui a été découvert par Bak, Tang et Wiesenfeld en 1987. Le second modèle, le modèle flèche-hauteur, est beaucoup plus récent, mais généralise le premier.
Dans un premier temps, nous avons considéré différents problèmes ouverts classiques sur le modèle du tas de sable (distribution des avalanches, calcul de l'identité, étude de la structure du groupe en fonction du graphe sous-jacent,...), pour lesquels nous avons apporté des raffinements ou des solutions partielles. Les méthodes employées, de type combinatoire, ont en outre parfois révélé des liens structuraux entre certains objets qui en eux-mêmes constituent des résultats intéressants.
La deuxième partie de cette thèse est dévouée à la présentation d'une théorie générale pour le modèle flèche-hauteur dans son intégralité. En particulier, cette théorie concerne aussi bien les aspects dynamiques du modèle (cycle de vecteurs d'éboulements, treillis de la relaxation, séquences d'opérations, algorithme thermique, ...) que les aspects combinatoires, qu'ils soient plutôt de type énumératif (différentes relations d'équivalence et taille de leurs classes respectives) ou de type algébrique (structure de groupe, extension de l'addition, morphismes de groupes, ...).
À l'issue de ces travaux, nous avons une meilleure compréhension des deux modèles étudiés. En particulier, le modèle flèche-hauteur est désormais muni d'une théorie semblable à celle du tas de sable qui nous permet d'envisager un intérêt grandissant pour ce modèle.