La première apparition d'une notion apparentée aux systèmes plats a
été retrouvée dans un article de David Hilbert en 1912, sous le nom de
«integralloss system», c'est-à-dire de système dont les solutions
peuvent être exprimées sans intégration. En 1915, Élie Cartan en a
donné la caractérisation suivante dans un cas particulier, qui
correspond pour l'automatique contemporaine à celui de systèmes à deux
commandes sans dérives, c'est-à-dire de la forme:
THÉORÈME 19. -- Considérons un système sans dérive. On définit les espaces vectoriels comme suit : , ... . Un système à deux commande sans dérive est plat ssi pour tout , l'espace vectoriel est de dimension Cette condition est trivialement satisfaite pour . Le cas correspond à l'exemple de la voiture, à celui d'un camion avec remorque.
THÉORÈME 20. -- Un système sans dérive
Nous ne détaillons pas la preuve, nous contentant décrire comment
on peut obtenir des sorties linéarisantes. Posons
. Soient
, ..., , fonctions de l'état. On
considère la dérivation
. On prend pour , ...,
, solution fonctionnellement indépendantes de
l'équation aux dérivées partielles linéaire
. Celles-ci forment alors (pour un choix «
générique» des ) une sortie linéarisante, car
, ce qui montre que
la matrice jacobienne
n'est pas de
rang maximal , ce qui permet d'exprimer localement l'état
, connaissant et , si
Exemple 21. -- La voiture est un bon exemple. Si l'on prend , on obtient aisément comme solution et . Ce type de solution présente l'inconvénient de n'être pas invariante par le groupe des translations et des rotations. Or, on souhaite un contrôle qui ne dépende pas du choix des coordonnées.
Pour cela, il faut prendre un champs dont l'expression soit invariante par le groupe: . Pour , on obtient des sorties linéarisantes qui correspondent aux coordonnées d'un point de l'essieu arrière (l'intersection de la droite d'angle dans le référentiel du véhicule passant par le point de référence choisi sur celui-ci. Quand tend vers , ce point d'intersection tend vers l'infini. On obtient alors des sorties linéarisantes et . Celles-ci ne sont plus préservées que par les rotations par rapport à l'origine.
Détailler les calculs est un excellent exercice.